1. Um ponto descreve uma circunferência de acordo com a lei s=t^{3}+2 t, onde s é medido em metros ao longo da circunferência e t em segundos. Se a aceleração total do ponto é 16 \sqrt{2} m \cdot s^{-2} quando t=2 \mathrm{~s}, calcule o raio da circunferência.

Passo 1

O enunciado diz que o ponto se desloca ao longo de uma circunferência e que o arco percorrido é dado por
s(t) = t^{3} + 2\,t,
com s em metros e t em segundos. Queremos achar o raio R da circunferência, sabendo que a aceleração total em t=2,s é 16\sqrt{2},m/ s^{2}. Para isso vamos precisar de:
– A velocidade tangencial v(t)=\frac{ds}{dt}.
– A aceleração tangencial a_{t}(t)=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}.
– A relação entre aceleração normal, velocidade e raio: a_{n}=v^{2}/R.
– A combinação vetor-resultante das acelerações:
a_{\text{total}} = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{n}^{2}}.

Passo 2

Calculando a velocidade e a aceleração tangencial:
v(t) = \frac{ds}{dt} = 3\,t^{2} + 2,
a_{t}(t) = \frac{d^{2}s}{dt^{2}} = 6\,t.
Em t=2,s temos
v(2) = 3\cdot 2^{2} + 2 = 12 + 2 = 14\\ \text{m/s},
a_{t}(2) = 6\cdot 2 = 12\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 3

A aceleração normal é dada por
a_{n} = \frac{v^{2}}{R}.
Logo, em t=2:
a_{n}(2) = \frac{14^{2}}{R} = \frac{196}{R}.

Passo 4

A aceleração total \;a_{\text{total}} combina as componentes tangencial e normal via
a_{\text{total}}^{2} = a_{t}^{2} + a_{n}^{2}.
Substituindo a_{\text{total}}=16\sqrt{2}, a_{t}=12 e a_{n}=196/R, obtemos
\bigl(16\sqrt{2}\bigr)^{2} = 12^{2} + \Bigl(\frac{196}{R}\Bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad 512 = 144 + \frac{196^{2}}{R^{2}}.
Isolando R^{2}:
512 - 144 = \frac{38416}{R^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 368 = \frac{38416}{R^{2}} \quad\Longrightarrow\quad R^{2} = \frac{38416}{368} \approx 104{,}39.

Passo 5

Finalmente,
R = \sqrt{104{,}39} \approx 10{,}22\\ \text{m}.

Resposta

O raio da circunferência é aproximadamente 10{,}22 metros.

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