Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, com velocidades v_{A} e v_{B}, respectivamente. Quando o carro A está à distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante a. Demonstre que, para não haver colisão entre A e B, é necessário que v_{A}-v_{B}>\sqrt{2 a d}.
3. Um corpo percorre uma trajetória retilínea de acordo com a lei horária x=16 t-6 t^{2}, onde x é medido em metros e t em segundos. (a) Determine a posição do corpo no instante t=1 s. (b) Em quais instantes o corpo passa pela origem? (c) Calcule a velocidade média para o intervalo 0<t<2 s. (d) Obtenha a expressão geral da velocidade média para o intervalo t_{0}<t<\left(t_{0}+\Delta t\right). (e) Calcule a velocidade instantânea num instante qualquer. ( f ) Calcule a velocidade instantânea no instante t=0. (g) Em quais instantes e posições a velocidade do corpo é nula? (h) Obtenha a expressão geral da aceleração média para o intervalo de tempo t_{0}<t<\left(t_{0}+\Delta t\right). (i) Obtenha a expressão geral para a aceleração instantânea num instante qualquer. (j) Em quais instantes a aceleração instantânea é nula? ( k ) Represente, utilizando um só par de eixos, x versus t, v versus t, e a versus t. (l) Em quais instantes o movimento é acelerado e em quais ele é retardado?

Passo 1

O enunciado tem dois problemas distintos:
  1. Dois carros A e B movendo-se no mesmo sentido com velocidades constantes iniciais v_A e v_B. No instante em que A está a uma distância d atrás de B, o motorista de A freia com desaceleração constante a. Deve-se demonstrar a condição para que não ocorra colisão.
  2. Um corpo descreve um movimento retilíneo segundo
x(t)=16\,t \;-\;6\,t^2,
com x em metros e t em segundos. Pede-se em vários itens: posição em t=1, instantes em que x=0, velocidade média em [0,2], expressão geral de velocidade média em [t_0,t_0+\Delta t], velocidade instantânea geral e em t=0, instantes e posições em que v=0, aceleração média e instantânea gerais e seus zeros, esboçar x(t), v(t) e a(t) num só sistema de eixos, e identificar intervalos de movimento acelerado e retardado.

Passo 2

Para o problema dos carros definimos o movimento relativo de A em relação a B. A velocidade inicial relativa é
v_{\rm rel}=v_A - v_B,
e a desaceleração relativa é a_{\rm rel}=a. A distância necessária para A parar em relação a B é a distância de frenagem dada por
s_{\rm fr}=\frac{v_{\rm rel}^2}{2\,a_{\rm rel}} =\frac{(v_A - v_B)^2}{2\,a}.

Passo 3

Para não haver colisão, A deve parar antes de percorrer a distância d, ou seja
s_{\rm fr}\le d \quad\Longrightarrow\quad \frac{(v_A - v_B)^2}{2\,a}\le d \quad\Longrightarrow\quad v_A - v_B \le \sqrt{2\,a\,d}.

Passo 4

(a) Posição em t=1: basta substituir em x(t)=16t-6t^2:
x(1)=16\cdot1 -6\cdot1^2 =10\\ (\text{m}).

Passo 5

(b) Instantes em que x=0:
16\,t -6t^2 =0 \quad\Longrightarrow\quad t(16-6t)=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0 \quad\text{ou}\quad t=\frac{16}{6}=\frac83\\ (\text{s}).

Passo 6

(c) Velocidade média em 0<t<2:
\bar v=\frac{x(2)-x(0)}{2-0} =\frac{\bigl(16\cdot2-6\cdot2^2\bigr)-0}{2} =\frac{8}{2}=4\\ (\text{m/s}).

Passo 7

(d) Expressão geral da velocidade média em [t_0,t_0+\Delta t]:
\bar v =\frac{x(t_0+\Delta t)-x(t_0)}{\Delta t} =\frac{16(t_0+\Delta t)-6(t_0+\Delta t)^2 \;-\;\bigl(16t_0-6t_0^2\bigr)}{\Delta t} =16 \;-\;12\,t_0 \;-\;6\,\Delta t.

Passo 8

(e) Velocidade instantânea geral:
v(t)=\frac{dx}{dt}=16 -12\,t.
(f) Em t=0:
v(0)=16\\ (\text{m/s}).

Passo 9

(g) Instantes e posições em que v(t)=0:
16-12t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{16}{12}=\frac43\\ (\text{s}).
Posição correspondente:
x\bigl(\tfrac43\bigr) =16\cdot\tfrac43 -6\bigl(\tfrac43\bigr)^2 =\frac{64}{3}-6\cdot\frac{16}{9} =\frac{32}{3}\\ (\text{m}).

Passo 10

(h) Aceleração média em [t_0,t_0+\Delta t]:
\bar a =\frac{v(t_0+\Delta t)-v(t_0)}{\Delta t} =\frac{\bigl(16-12(t_0+\Delta t)\bigr)-\bigl(16-12t_0\bigr)}{\Delta t} =-12\\ (\text{m/s}^2).

Passo 11

(i) Aceleração instantânea geral:
a(t)=\frac{dv}{dt}=-12\\ (\text{m/s}^2),
(j) como a(t) é constante não há instante em que seja zero.

Passo 12

(k) Esboço qualitativo em um só par de eixos:
x(t)=16t-6t^2: parábola côncava para baixo, cruza x=0 em t=0 e t=8/3, tem máximo em t=4/3.
v(t)=16-12t: reta decrescente, intercepta v(0)=16, zera em t=4/3.
a(t)=-12: reta horizontal abaixo do eixo do tempo.

Passo 13

(l) Como a=-12<0, para t<4/3 tem v>0 e a<0 (movimento retardado) e para t>4/3 tem v<0 e a<0 (movimento acelerado, pois a aceleração e a velocidade têm mesmo sinal).

Resposta

(a) x(1)=10 m.
(b) t=0 s e t=8/3 s.
(c) \bar v_{0\to2}=4 m/s.
(d) \bar v=16-12\,t_0-6\,\Delta t.
(e) v(t)=16-12\,t.
(f) v(0)=16 m/s.
(g) t=4/3 s em x=32/3 m.
(h) \bar a=-12 m/ s^{2}.
(i) a(t)=-12 m/ s^{2}.
(j) nunca zera.
(k) Gráficos: x(t) parábola, v(t) reta decrescente, a(t) constante negativa.
(l) Retardado para t<4/3 e acelerado para t>4/3.
Para o primeiro problema, não-colisão exige
v_A - v_B \le \sqrt{2\,a\,d}.

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