Calculando as integrais
\mathrm{I}_{1}=\int_{1}^{2} x^{2} d x, \quad \mathrm{I}_{2}=\int_{1}^{2} x d x \quad e \quad \mathrm{I}_{3}=\int_{1}^{2} d x,
obtemos \mathrm{I}_{1}=7 / 3, \mathrm{I}_{2}=3 / 2, \mathrm{I}_{3}=1. Utilize esses resultados e as propriedades das Integrais Definidas para encontrar o valor de:
1.1) \int_{1}^{2}(6 x-1) d x
1.2) \int_{1}^{2}(x-1)(x+1) d x
1.3) \int_{1}^{2} 2 x(x+1) d x

Passo 1

O enunciado fornece os valores das integrais
\mathrm{I}_{1}=\int_{1}^{2} x^{2}\,dx=\tfrac{7}{3},\qquad \mathrm{I}_{2}=\int_{1}^{2} x\,dx=\tfrac{3}{2},\qquad \mathrm{I}_{3}=\int_{1}^{2} 1\,dx=1.
E pede para encontrar os valores de:
\text{(1.1)}\\ \int_{1}^{2}(6x-1)\,dx,\qquad \text{(1.2)}\\ \int_{1}^{2}(x-1)(x+1)\,dx,\qquad \text{(1.3)}\\ \int_{1}^{2} 2x(x+1)\,dx.

Passo 2

Propriedades que vamos usar (explicação rápida e didática):
  • Linearidade da integral: para funções f e g e constantes a,b,
\int_{1}^{2}\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int_{1}^{2} f(x)\,dx + b\int_{1}^{2} g(x)\,dx.
Isto significa que podemos separar somas dentro da integral e puxar constantes para fora da integral. Por exemplo, \int_{1}^{2}6x\,dx = 6\int_{1}^{2}x\,dx.
  • Produto de polinômios: multiplicar e simplificar primeiro é geralmente mais prático. Por exemplo, (x-1)(x+1)=x^{2}-1. Depois integramos termo a termo usando a linearidade.

Passo 3

Cálculo de (1.1). Usando linearidade:
\int_{1}^{2}(6x-1)\,dx = 6\int_{1}^{2}x\,dx - \int_{1}^{2}1\,dx.
Agora substituímos \mathrm{I}_{2} e \mathrm{I}_{3} dados:
6\int_{1}^{2}x\,dx - \int_{1}^{2}1\,dx = 6\mathrm{I}_{2} - \mathrm{I}_{3} = 6\cdot\tfrac{3}{2} - 1.
Calculemos: 6\cdot\tfrac{3}{2}=9, então o resultado é 9-1=8.

Passo 4

Cálculo de (1.2). Primeiro expandimos o produto:
(x-1)(x+1) = x^{2}-1.
Usando linearidade:
\int_{1}^{2}(x^{2}-1)\,dx = \int_{1}^{2}x^{2}\,dx - \int_{1}^{2}1\,dx.
Substituindo \mathrm{I}_{1} e \mathrm{I}_{3}:
\mathrm{I}_{1}-\mathrm{I}_{3} = \tfrac{7}{3} - 1 = \tfrac{7}{3} - \tfrac{3}{3} = \tfrac{4}{3}.

Passo 5

Cálculo de (1.3). Primeiro distribuímos:
2x(x+1)=2x^{2}+2x.
Pela linearidade:
\int_{1}^{2} (2x^{2}+2x)\,dx = 2\int_{1}^{2}x^{2}\,dx + 2\int_{1}^{2}x\,dx.
Substituindo \mathrm{I}_{1} e \mathrm{I}_{2}:
2\mathrm{I}_{1}+2\mathrm{I}_{2}=2\cdot\tfrac{7}{3} + 2\cdot\tfrac{3}{2}.
Calculemos separadamente: 2\cdot\tfrac{7}{3}=\tfrac{14}{3} e 2\cdot\tfrac{3}{2}=3. Somando:
\tfrac{14}{3}+3=\tfrac{14}{3}+\tfrac{9}{3}=\tfrac{23}{3}.

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{2}(6x-1)\,dx = 8
\displaystyle \int_{1}^{2}(x-1)(x+1)\,dx = \tfrac{4}{3}
\displaystyle \int_{1}^{2}2x(x+1)\,dx = \tfrac{23}{3}

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