Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para verificar o sinal (positivo, negativo ou zero) da integral
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta\,d\theta.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função integranda é \cos\theta.
  • O intervalo de integração é [-\pi/2,\pi/2], que é simétrico em torno de 0.
  • Sabemos alguns valores especiais: \cos 0=1 e \cos(\pm\pi/2)=0.
    Não vou calcular a integral numérica; apenas vou decidir se ela é positiva, negativa ou zero.

Passo 2

Vamos lembrar um conceito útil: função par e ímpar.
  • Dizemos que uma função f é par se f(-x)=f(x) para todo x.
  • Dizemos que f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x.
    A função cosseno satisfaz a identidade \cos(-\theta)=\cos\theta. Logo, \cos\theta é uma função par. Isso é importante porque facilita analisar integrais em intervalos simétricos.

Passo 3

Propriedade de integrais para funções pares em intervalos simétricos:
Se f é par e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Prova rápida (intuitiva): divida a integral em duas partes e use a mudança de variável x=-t em \int_{-a}^{0} f(x)\,dx para ver que essa parte é igual a \int_{0}^{a} f(x)\,dx. Como \cos\theta é par, podemos aplicar essa propriedade com a=\pi/2:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Análise do sinal de \cos\theta no intervalo [-\pi/2,\pi/2].
Intuitivamente (e geometricamente no círculo unitário), para ângulos entre -\pi/2 e \pi/2 a coordenada x do ponto na circunferência é positiva, portanto \cos\theta>0 para todo \theta\in(-\pi/2,\pi/2). Nos extremos temos \cos(\pm\pi/2)=0. Em resumo:
\cos\theta \ge 0\quad\text{em}\quad[-\pi/2,\pi/2],
com \cos\theta>0 em todo o interior (-\pi/2,\pi/2).

Passo 5

Conclusão sobre o sinal da integral sem calcular seu valor:
Se uma função f é contínua, f(x)\ge 0 em [a,b] e existe um subintervalo não trivial onde f(x)>0, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx > 0,
porque a área sob a curva acima do eixo x é positiva. Aplicando isso a f(\theta)=\cos\theta em [-\pi/2,\pi/2], como \cos\theta\ge 0 em todo o intervalo e \cos\theta>0 em (-\pi/2,\pi/2), a integral é estritamente positiva. Alternativamente, a igualdade do Passo 3 mostra que a integral é duas vezes uma integral de uma função positiva, reforçando que o resultado é positivo.

Resposta

positivo

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