Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
Passo 1
O enunciado pede para verificar o sinal (positivo, negativo ou zero) da integral
Informações dadas e observações imediatas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, que é simétrico em torno de . - Sabemos alguns valores especiais:
e .
Não vou calcular a integral numérica; apenas vou decidir se ela é positiva, negativa ou zero.
Passo 2
Vamos lembrar um conceito útil: função par e ímpar.
- Dizemos que uma função
é par se para todo . - Dizemos que
é ímpar se para todo .
A função cosseno satisfaz a identidade. Logo, é uma função par. Isso é importante porque facilita analisar integrais em intervalos simétricos.
Passo 3
Propriedade de integrais para funções pares em intervalos simétricos:
Se é par e integrável em
, então
Se
Prova rápida (intuitiva): divida a integral em duas partes e use a mudança de variável
em
para ver que essa parte é igual a
. Como
é par, podemos aplicar essa propriedade com
:
Passo 4
Análise do sinal de
no intervalo
.
Intuitivamente (e geometricamente no círculo unitário), para ângulos entre e
a coordenada
do ponto na circunferência é positiva, portanto
para todo
. Nos extremos temos
. Em resumo:
Intuitivamente (e geometricamente no círculo unitário), para ângulos entre
com
em todo o interior
.
Passo 5
Conclusão sobre o sinal da integral sem calcular seu valor:
Se uma função é contínua,
em
e existe um subintervalo não trivial onde
, então
Se uma função
porque a área sob a curva acima do eixo
é positiva. Aplicando isso a
em
, como
em todo o intervalo e
em
, a integral é estritamente positiva. Alternativamente, a igualdade do Passo 3 mostra que a integral é duas vezes uma integral de uma função positiva, reforçando que o resultado é positivo.
Resposta
positivo