Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
será positiva, negativa ou zero. Dados fornecidos: a função integranda é
e o intervalo de integração é
. Não é pedido calcular o valor exato, apenas o sinal da integral.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a integral definida
representa a área com sinal entre o gráfico de
e o eixo
no intervalo
. Regras úteis:
- Se
para todo e não é identicamente zero, então . - Se
para todo e não é identicamente zero, então . - Se
para todo , então .
Um exemplo simples: para uma constante positiva, .
Passo 3
Vamos analisar o sinal da função
no intervalo
.
Para temos
Para
portanto, tomando recíprocos (lembrando que todos os termos são positivos), obtemos
Isso mostra que
é sempre positiva no intervalo
e, além disso, nunca é zero.
Passo 4
Como
para todo
, podemos usar essa desigualdade para dar um motivo concreto de que a integral é estritamente positiva:
Note que aqui não calculamos a integral original explicitamente — apenas usamos uma comparação para garantir que ela é positiva.
Passo 5
Conclusão clara e rápida: a função é positiva em todo o intervalo e não é identicamente zero, então a integral definida sobre
é positiva. Força aí — você já tem a justificativa completa para usar na prova!
Resposta
positivo