Verifique as integrais das funções abaixo nos intervalos indicados e mostre, sem calcular as integrais, se o resultado será positivo, negativo, ou zero:
\int_{0}^{30} \frac{d x}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{30} \frac{dx}{x+2}
será positiva, negativa ou zero. Dados fornecidos: a função integranda é \frac{1}{x+2} e o intervalo de integração é [0,30]. Não é pedido calcular o valor exato, apenas o sinal da integral.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a integral definida \int_{a}^{b} f(x)\,dx representa a área com sinal entre o gráfico de f e o eixo x no intervalo [a,b]. Regras úteis:
  • Se f(x)\ge 0 para todo x\in[a,b] e f não é identicamente zero, então \int_{a}^{b} f(x)\,dx>0.
  • Se f(x)\le 0 para todo x\in[a,b] e f não é identicamente zero, então \int_{a}^{b} f(x)\,dx<0.
  • Se f(x)=0 para todo x\in[a,b], então \int_{a}^{b} f(x)\,dx=0.
    Um exemplo simples: para uma constante positiva c>0, \int_{a}^{b} c\,dx = c(b-a)>0.

Passo 3

Vamos analisar o sinal da função \frac{1}{x+2} no intervalo [0,30].
Para x\in[0,30] temos
2 \le x+2 \le 32,
portanto, tomando recíprocos (lembrando que todos os termos são positivos), obtemos
\frac{1}{32} \le \frac{1}{x+2} \le \frac{1}{2}.
Isso mostra que \frac{1}{x+2} é sempre positiva no intervalo [0,30] e, além disso, nunca é zero.

Passo 4

Como \frac{1}{x+2}\ge \frac{1}{32} para todo x\in[0,30], podemos usar essa desigualdade para dar um motivo concreto de que a integral é estritamente positiva:
\int_{0}^{30} \frac{dx}{x+2} \ge \int_{0}^{30} \frac{1}{32}\,dx = 30\cdot\frac{1}{32} = \frac{15}{16} > 0.
Note que aqui não calculamos a integral original explicitamente — apenas usamos uma comparação para garantir que ela é positiva.

Passo 5

Conclusão clara e rápida: a função é positiva em todo o intervalo e não é identicamente zero, então a integral definida sobre [0,30] é positiva. Força aí — você já tem a justificativa completa para usar na prova!

Resposta

positivo

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