Calculando limites com propriedades: Use as propriedades de limites para calcular os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função considerada é a razão entre dois polinômios, o numerador
e o denominador . - O ponto de aproximação é
. - Não há imagens nem outros dados adicionais.
Passo 2
Regra que vamos usar (propriedade de limites para quociente):
Se existem e
e
, então
Se existem
O que isso significa na prática: se conseguirmos calcular separadamente o limite do numerador e do denominador, e o limite do denominador não for zero, podemos dividir os resultados diretamente. Dica para a prova: sempre verifique primeiro se o denominador tende a zero — se não tender a zero, a substituição direta costuma resolver polinômios.
Passo 3
Fato útil sobre polinômios (por que a substituição direta vale): polinômios são funções contínuas em todo
. Para uma função contínua
, vale
Portanto, para polinômios podemos calcular o limite no ponto simplesmente avaliando o polinômio naquele ponto. Isso facilita muito em provas — em geral, substituição direta para polinômios e somas/produtos de funções contínuas funciona.
Passo 4
Calcular o limite do numerador usando substituição (polinômio):
Aqui usei que
,
e a soma/subtração de limites é o limite das somas/subtrações.
Passo 5
Calcular o limite do denominador usando substituição:
Como o limite do denominador é
, podemos aplicar a propriedade do quociente do Passo 2.
Passo 6
Aplicando a propriedade do quociente:
Comentário final de prova: se em outra questão o denominador tender a zero e o numerador também tender a zero, aí não dá para fazer substituição direta — será necessário fatorar, cancelar termos comuns ou usar outras ferramentas (por exemplo, regra de L’Hôpital, quando for permitido).