Calculando limites com propriedades: Use as propriedades de limites para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+2 x-1}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+2x-1}{x+3}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função considerada é a razão entre dois polinômios, o numerador x^{2}+2x-1 e o denominador x+3.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
  • Não há imagens nem outros dados adicionais.

Passo 2

Regra que vamos usar (propriedade de limites para quociente):
Se existem \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) e \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}.
O que isso significa na prática: se conseguirmos calcular separadamente o limite do numerador e do denominador, e o limite do denominador não for zero, podemos dividir os resultados diretamente. Dica para a prova: sempre verifique primeiro se o denominador tende a zero — se não tender a zero, a substituição direta costuma resolver polinômios.

Passo 3

Fato útil sobre polinômios (por que a substituição direta vale): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Para uma função contínua h, vale
\lim_{x\to a} h(x)=h(a).
Portanto, para polinômios podemos calcular o limite no ponto simplesmente avaliando o polinômio naquele ponto. Isso facilita muito em provas — em geral, substituição direta para polinômios e somas/produtos de funções contínuas funciona.

Passo 4

Calcular o limite do numerador usando substituição (polinômio):
\lim_{x\to 1} \left(x^{2}+2x-1\right) = 1^{2}+2\cdot 1 -1 = 1+2-1 = 2.
Aqui usei que \lim_{x\to1} x^{2}=1^{2}, \lim_{x\to1} 2x=2\cdot1 e a soma/subtração de limites é o limite das somas/subtrações.

Passo 5

Calcular o limite do denominador usando substituição:
\lim_{x\to 1} (x+3)=1+3=4.
Como o limite do denominador é \,4\neq 0, podemos aplicar a propriedade do quociente do Passo 2.

Passo 6

Aplicando a propriedade do quociente:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+2x-1}{x+3} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to1}\left(x^{2}+2x-1\right)}{\displaystyle\lim_{x\to1}(x+3)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Comentário final de prova: se em outra questão o denominador tender a zero e o numerador também tender a zero, aí não dá para fazer substituição direta — será necessário fatorar, cancelar termos comuns ou usar outras ferramentas (por exemplo, regra de L’Hôpital, quando for permitido).

Resposta

\dfrac{1}{2}

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