Calculando limites com propriedades: Use as propriedades de limites para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 1}\left[3\left(x^{2}+1\right)-2(x-3)\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 1:
\lim_{x\to 1}\bigl[\,3\bigl(x^{2}+1\bigr)-2(x-3)\bigr].
Informações dadas: a expressão dentro do limite é 3(x^{2}+1)-2(x-3). Queremos o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos lembrar e usar propriedades básicas de limites (explicadas de forma didática):
  • Linearidade: se existem \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x), então
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)
e
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x).
Isto significa que podemos separar soma e diferença dentro do limite em limites individuais.
  • Multiplicação por constante: para qualquer constante c,
\lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a} f(x).
Ou seja, constantes saem do limite.
  • Continuidade de polinômios: se p(x) é um polinômio, então \lim_{x\to a} p(x)=p(a). Em particular, para x, x^2, etc., podemos simplesmente substituir x=a.
Exemplo rápido para fixar: \lim_{x\to 2}(5x+3)=5\cdot2+3=13 porque usamos linearidade e a substituição direta.

Passo 3

Aplicando a linearidade e a propriedade de constante ao nosso limite:
\lim_{x\to 1}\bigl[\,3(x^{2}+1)-2(x-3)\bigr] =3\lim_{x\to 1}\bigl(x^{2}+1\bigr)-2\lim_{x\to 1}(x-3).

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 1}\bigl(x^{2}+1\bigr).
Pelo item da soma e pela continuidade de x^{2},
\lim_{x\to 1}\bigl(x^{2}+1\bigr)=\lim_{x\to 1}x^{2}+\lim_{x\to 1}1.
Aqui \lim_{x\to 1}1=1 (constante) e \lim_{x\to 1}x^{2}=(\lim_{x\to 1}x)^{2}=1^{2}=1. Portanto
\lim_{x\to 1}\bigl(x^{2}+1\bigr)=1+1=2.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to 1}(x-3).
Pela linearidade,
\lim_{x\to 1}(x-3)=\lim_{x\to 1}x-\lim_{x\to 1}3=1-3=-2.

Passo 6

Substituindo os resultados no passo 3:
3\lim_{x\to 1}\bigl(x^{2}+1\bigr)-2\lim_{x\to 1}(x-3)=3\cdot 2 - 2\cdot(-2).
Calculando: 3\cdot 2=6 e -2\cdot(-2)=4. Assim o valor do limite é 6+4=10.

Resposta

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