Calculando limites com propriedades: Use as propriedades de limites para calcular os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão cujo limite deve ser calculado é
. - O ponto de aproximação é
.
Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que é pedido e quais expressões aparecem no problema.
Passo 2
Ferramentas e propriedades de limites que vou usar (mini-aula curtinha e prática):
- Regra do produto: se
e existem e são finitos, então
- Regra da soma/constante:
e , para constante . - Regra da potência (caso básico):
quando o limite de existe. - Consequência prática: polinômios são feitas por soma, produto e potências de
; portanto o limite de um polinômio em é simplesmente o valor do polinômio em (ou seja, substituição direta).
Essas regras permitem calcular limites por decomposição em partes simples.
Passo 3
Calcular a parte mais simples:
.
Usando a regra da soma e o fato de ,
Usando a regra da soma e o fato de
Passo 4
Calcular a outra parte:
.
Vou decompor usando as regras de soma, constante e potência:
Vou decompor usando as regras de soma, constante e potência:
Agora
, e pela regra da potência
Substituindo:
Fazendo a conta passo a passo:
Portanto a segunda parte tem limite igual a
.
Passo 5
Agora aplico a regra do produto (Passo 2): como
e
, tem-se
Passo 6
Dica rápida para a prova (truque útil): observe que
. Assim
Como um dos fatores é
, ao fazer
esse fator tende a
e, portanto, o produto tende a
. Esse reconhecimento de fator
é um atalho frequente em limites.