Calculando limites com propriedades: Use as propriedades de limites para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2}\left[(x+1)\left(x^{2}-3 x+2\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 2}\left[(x+1)\left(x^{2}-3x+2\right)\right].
Informações dadas:
  • A expressão cujo limite deve ser calculado é (x+1)(x^{2}-3x+2).
  • O ponto de aproximação é x\to2.
    Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que é pedido e quais expressões aparecem no problema.

Passo 2

Ferramentas e propriedades de limites que vou usar (mini-aula curtinha e prática):
  • Regra do produto: se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} [f(x)g(x)] \;=\; \left(\lim_{x\to a} f(x)\right)\left(\lim_{x\to a} g(x)\right).
  • Regra da soma/constante: \lim_{x\to a} [f(x)+c]=\lim_{x\to a} f(x)+c e \lim_{x\to a} [c\cdot f(x)]=c\cdot\lim_{x\to a} f(x), para constante c.
  • Regra da potência (caso básico): \lim_{x\to a} [f(x)]^{n}=\left(\lim_{x\to a} f(x)\right)^{n} quando o limite de f existe.
  • Consequência prática: polinômios são feitas por soma, produto e potências de x; portanto o limite de um polinômio em x=a é simplesmente o valor do polinômio em a (ou seja, substituição direta).
    Essas regras permitem calcular limites por decomposição em partes simples.

Passo 3

Calcular a parte mais simples: \lim_{x\to 2} (x+1).
Usando a regra da soma e o fato de \lim_{x\to 2} x = 2,
\lim_{x\to 2} (x+1) = \lim_{x\to 2} x + 1 = 2 + 1 = 3.

Passo 4

Calcular a outra parte: \lim_{x\to 2} (x^{2}-3x+2).
Vou decompor usando as regras de soma, constante e potência:
\lim_{x\to 2} (x^{2}-3x+2) =\lim_{x\to 2} x^{2} - 3\lim_{x\to 2} x + 2.
Agora \lim_{x\to 2} x = 2, e pela regra da potência
\lim_{x\to 2} x^{2} = (\lim_{x\to 2} x)^{2} = 2^{2} = 4.
Substituindo:
\lim_{x\to 2} (x^{2}-3x+2) = 4 - 3\cdot 2 + 2.
Fazendo a conta passo a passo:
4 - 3\cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = (4+2)-6 = 6-6 = 0.
Portanto a segunda parte tem limite igual a 0.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto (Passo 2): como \lim_{x\to 2} (x+1)=3 e \lim_{x\to 2} (x^{2}-3x+2)=0, tem-se
\lim_{x\to 2}\left[(x+1)\left(x^{2}-3x+2\right)\right] = 3\cdot 0.

Passo 6

Dica rápida para a prova (truque útil): observe que \;x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2). Assim
(x+1)(x^{2}-3x+2)=(x+1)(x-1)(x-2).
Como um dos fatores é (x-2), ao fazer x\to 2 esse fator tende a 0 e, portanto, o produto tende a 0. Esse reconhecimento de fator (x-a) é um atalho frequente em limites.

Resposta

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