Calcule o volume de um cilindro de comprimento L=(5,00 \pm 0,02) \mathrm{cm} e diâmetro D=(2,00 \pm 0,01) \mathrm{cm}, com seu respectivo erro propagado. \_\_\_\_ \_\_\_\_ \_\_\_\_ \_\_\_\_ \_\_\_\_
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
Pedido: calcular o volume do cilindro e o erro propagado desse volume.
Dados fornecidos:
comprimento L=(5,00 \pm 0,02)\\ \mathrm{cm},
diâmetro D=(2,00 \pm 0,01)\\ \mathrm{cm}.
Vou usar exatamente esses números para obter o volume nominal e seu erro.
Passo 2
Fórmula do volume do cilindro e definição das variáveis.
Um cilindro de diâmetro D e comprimento (altura) L tem área da base igual à área de um círculo de raio r=D/2. Assim a fórmula do volume é
V = \pi r^{2} L = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^{2} L = \frac{\pi}{4}\,D^{2}L.
Significado das variáveis:
V é o volume (unidade \mathrm{cm}^{3}),
D é o diâmetro (unidade \mathrm{cm}),
L é o comprimento/altura (unidade \mathrm{cm}),
\pi é a constante 3,14159…
Passo 3
Cálculo do valor nominal do volume (substituindo os valores centrais).
Substituindo D=2,00\\ \mathrm{cm} e L=5,00\\ \mathrm{cm} em
Método de propagação de erro (explicação didática).
Quando V depende de duas variáveis medidas D e L com incertezas independentes \sigma_{D} e \sigma_{L}, a variância (erro quadrático) em V é dada pela soma das contribuições das derivadas parciais:
Intuição: pequenas variações em D e em L causam variações em V proporcionais às derivadas parciais; como os erros são independentes somam-se as variâncias.
Alternativa prática (quando a função é do tipo V\propto D^{2}L): pode-se usar a fórmula de erros relativos
enquanto o termo de L contribui com cerca de 13{,}8\%. Ou seja, medir D com mais precisão reduziria mais o erro no volume.
Passo 8
Arredondamento final e apresentação do resultado com algarismos significativos adequados.
\sigma_{V}\approx 0{,}16915\\ \mathrm{cm}^{3}. Normalmente a incerteza é dada com uma ou duas cifras significativas; aqui uso duas cifras significativas e arredondo para 0{,}17\\ \mathrm{cm}^{3}.
Portanto o volume deve ser escrito com a mesma casa decimal que a incerteza: V=(15{,}71\pm 0{,}17)\\ \mathrm{cm}^{3}.