Q6: Calculando o volume do cilindro

Calcule o volume de um cilindro de comprimento L=(5,00 \pm 0,02) \mathrm{cm} e diâmetro D=(2,00 \pm 0,01) \mathrm{cm}, com seu respectivo erro propagado.
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Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedido: calcular o volume do cilindro e o erro propagado desse volume.
  • Dados fornecidos:
    • comprimento L=(5,00 \pm 0,02)\\ \mathrm{cm},
    • diâmetro D=(2,00 \pm 0,01)\\ \mathrm{cm}.
Vou usar exatamente esses números para obter o volume nominal e seu erro.

Passo 2

Fórmula do volume do cilindro e definição das variáveis.
  • Um cilindro de diâmetro D e comprimento (altura) L tem área da base igual à área de um círculo de raio r=D/2. Assim a fórmula do volume é
V = \pi r^{2} L = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^{2} L = \frac{\pi}{4}\,D^{2}L.
  • Significado das variáveis:
    • V é o volume (unidade \mathrm{cm}^{3}),
    • D é o diâmetro (unidade \mathrm{cm}),
    • L é o comprimento/altura (unidade \mathrm{cm}),
    • \pi é a constante 3,14159…

Passo 3

Cálculo do valor nominal do volume (substituindo os valores centrais).
Substituindo D=2,00\\ \mathrm{cm} e L=5,00\\ \mathrm{cm} em
V=\frac{\pi}{4}D^{2}L,
temos passo a passo:
D^{2} = (2,00)^{2} = 4{,}00\\ \mathrm{cm}^{2},
\frac{\pi}{4}D^{2}L = \frac{\pi}{4}\times 4{,}00\times 5{,}00 = \pi\times 5{,}00 = 5\pi.
Portanto o valor nominal é
V_{\text{nom}} = 5\pi \approx 15{,}707963\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 4

Método de propagação de erro (explicação didática).
  • Quando V depende de duas variáveis medidas D e L com incertezas independentes \sigma_{D} e \sigma_{L}, a variância (erro quadrático) em V é dada pela soma das contribuições das derivadas parciais:
\sigma_{V}^{2} = \left(\frac{\partial V}{\partial D}\right)^{2}\sigma_{D}^{2} + \left(\frac{\partial V}{\partial L}\right)^{2}\sigma_{L}^{2}.
  • Intuição: pequenas variações em D e em L causam variações em V proporcionais às derivadas parciais; como os erros são independentes somam-se as variâncias.
  • Alternativa prática (quando a função é do tipo V\propto D^{2}L): pode-se usar a fórmula de erros relativos
\left(\frac{\sigma_{V}}{V}\right)^{2} = \left(2\frac{\sigma_{D}}{D}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_{L}}{L}\right)^{2},
que vem do mesmo procedimento e é mais rápida quando a lei de dependência é uma potência.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais e avaliá‑las nos valores dados.
Da fórmula V=\dfrac{\pi}{4}D^{2}L temos:
\frac{\partial V}{\partial D} = \frac{\pi}{4}\cdot 2D L = \frac{\pi}{2} D L, \qquad \frac{\partial V}{\partial L} = \frac{\pi}{4} D^{2}.
Avaliação numérica com D=2{,}00\\ \mathrm{cm} e L=5{,}00\\ \mathrm{cm}:
\frac{\partial V}{\partial D}\Big|_{D,L} = \frac{\pi}{2}\times 2{,}00\times 5{,}00 = 5\pi \approx 15{,}70796\\ \frac{\mathrm{cm}^{2}}{\mathrm{cm}} = 15{,}70796,
\frac{\partial V}{\partial L}\Big|_{D,L} = \frac{\pi}{4}\times (2{,}00)^{2} = \pi \approx 3{,}141593.

Passo 6

Calcular as contribuições para \sigma_{V}^{2} e obter \sigma_{V}.
Dados dos erros: \sigma_{D}=0{,}01\\ \mathrm{cm} e \sigma_{L}=0{,}02\\ \mathrm{cm}.
Contribuições:
\left(\frac{\partial V}{\partial D}\sigma_{D}\right)^{2} = \big(5\pi\cdot 0{,}01\big)^{2} = (0{,}1570796)^{2} \approx 0{,}0246740,
\left(\frac{\partial V}{\partial L}\sigma_{L}\right)^{2} = \big(\pi\cdot 0{,}02\big)^{2} = (0{,}0628319)^{2} \approx 0{,}0039478.
Soma das variâncias:
\sigma_{V}^{2} \approx 0{,}0246740 + 0{,}0039478 = 0{,}0286218.
Logo
\sigma_{V} = \sqrt{0{,}0286218} \approx 0{,}16915\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 7

Verificação pelo método dos erros relativos (mais curto) e interpretação.
Usando a forma relativa já citada, com V_{\text{nom}}=5\pi,
\left(\frac{\sigma_{V}}{V}\right)^{2} = \left(2\frac{\sigma_{D}}{D}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_{L}}{L}\right)^{2}.
Substituindo:
2\frac{\sigma_{D}}{D} = 2\cdot\frac{0{,}01}{2{,}00} = 0{,}01,\qquad \frac{\sigma_{L}}{L} = \frac{0{,}02}{5{,}00} = 0{,}004.
\left(\frac{\sigma_{V}}{V}\right)^{2} = (0{,}01)^{2} + (0{,}004)^{2} = 0{,}0001 + 0{,}000016 = 0{,}000116,
\frac{\sigma_{V}}{V} = \sqrt{0{,}000116} \approx 0{,}010770\quad\Rightarrow\quad \sigma_{V} = V\cdot 0{,}010770 \approx 15{,}70796\cdot 0{,}010770 \approx 0{,}16915,
confirmando o resultado anterior.
Interpretação: a incerteza do diâmetro domina porque o termo devido a D contribui com aproximadamente
\frac{0{,}0246740}{0{,}0286218}\approx 0{,}8618 \quad\text{ou}\quad 86{,}2\%,
enquanto o termo de L contribui com cerca de 13{,}8\%. Ou seja, medir D com mais precisão reduziria mais o erro no volume.

Passo 8

Arredondamento final e apresentação do resultado com algarismos significativos adequados.
  • \sigma_{V}\approx 0{,}16915\\ \mathrm{cm}^{3}. Normalmente a incerteza é dada com uma ou duas cifras significativas; aqui uso duas cifras significativas e arredondo para 0{,}17\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Portanto o volume deve ser escrito com a mesma casa decimal que a incerteza: V=(15{,}71\pm 0{,}17)\\ \mathrm{cm}^{3}.

Resposta

V=(15{,}71 \pm 0{,}17)\\ \mathrm{cm}^{3}

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