Q4: Calculando o volume de um cudo

Calcule o volume de uma caixa cúbica de lado l=(50,5 \pm 0,5) \mathrm{cm}. Expresse o resultado com a adequada incerteza.
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Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede: calcular o volume de uma caixa cúbica de lado dado e apresentar a incerteza associada ao volume.
  • Dado: o lado l tem valor e incerteza \,l=(50,5\pm 0,5)\\ \mathrm{cm}.
    Portanto queremos o volume V e sua incerteza absoluta \Delta V, expressos com algarismos e arredondamento adequados.

Passo 2

Fórmula do volume e interpretação das variáveis (aula curta).
Para um cubo de lado l a fórmula do volume é
V = l^3.
Aqui V é o volume em \mathrm{cm}^3 e l é o comprimento do lado em \mathrm{cm}. Na prova, dada a incerteza em l, vamos propagar essa incerteza para V usando derivadas (método linear de propagação), que é suficiente quando a incerteza relativa é pequena.

Passo 3

Regra de propagação (aula curta sobre o método).
Se V depende de l por V(l), a incerteza absoluta aproximada em V é
\Delta V \approx \left|\frac{dV}{dl}\right| \Delta l.
Isto vem da expansão linear de Taylor: variação em V ≈ derivada × variação em l. Esse é o método padrão em provas quando se pede incerteza de uma função monovariável.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso (cálculo simbólico).
Como V=l^3, calculamos a derivada
\frac{dV}{dl} = 3 l^2.
Portanto
\Delta V \approx 3 l^2 \,\Delta l.
Também é útil a forma relativa:
\frac{\Delta V}{V} \approx 3\frac{\Delta l}{l},
que diz que a incerteza relativa no volume é aproximadamente três vezes a incerteza relativa no lado — razoável porque o volume escala como o cubo do lado.

Passo 5

Cálculo do volume nominal passo a passo (sem pular etapas).
Primeiro calcular l^2:
l^2 = (50,5)^2 = (50 + 0,5)^2 = 50^2 + 2\cdot50\cdot0,5 + 0,5^2 = 2500 + 50 + 0,25 = 2550,25.
Agora o volume nominal:
V = l^3 = l^2\cdot l = 2550,25 \times 50,5.
Multiplicando:
2550,25\times 50 = 127512,5, \qquad 2550,25\times 0,5 = 1275,125,
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V = 127512,5 + 1275,125 = 128787,625\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Cálculo da incerteza absoluta usando a fórmula (com as contas mostradas).
Usando \Delta l = 0,5\\ \mathrm{cm} e l^2=2550,25:
\Delta V \approx 3 \times 2550,25 \times 0,5 = 3 \times 1275,125 = 3825,375\\ \mathrm{cm}^3.
Confirmação pela forma relativa:
\frac{\Delta l}{l} = \frac{0,5}{50,5}\approx 0,00990099\quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta V}{V}\approx 3\cdot 0,00990099\approx 0,02970297,
e então \Delta V \approx 0,02970297\times 128787,625 \approx 3825,375, consistente com o cálculo anterior.

Passo 7

Arredondamento e apresentação final (aula curta sobre como escolher algarismos significativos).
Regra prática: a incerteza costuma ser dada com uma ou duas algarismos significativos. Aqui adotamos duas algarismos significativos para \Delta V: 3825,375 arredondado para 3800\\ \mathrm{cm}^3 (dois algarismos significativos, escrito como 3{,}8\times10^3). Ao apresentar V\pm\Delta V devemos arredondar V para a mesma casa decimal da incerteza (a incerteza em 3800 tem casa das centenas), então arredondamos V=128787,625 para 128800\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 8

Interpretação final rápida e incentivo.
O volume calculado é aproximadamente 1{,}29\times10^5\\ \mathrm{cm}^3 com incerteza de ordem 3{,}8\times10^3\\ \mathrm{cm}^3. Boa! Mesmo com pouco tempo, aplicar derivada para propagar erro é direto e confiável para funções polinomiais como essa — lembra que a incerteza relativa cresce como o expoente (aqui 3).

Resposta

V=(128\,800\pm 3\,800)\\ \mathrm{cm}^3

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