Calcule o volume de uma caixa cúbica de lado l=(50,5 \pm 0,5) \mathrm{cm}. Expresse o resultado com a adequada incerteza. \_\_\_\_ \_\_\_\_ \_\_\_\_ \_\_\_\_ \_\_\_\_
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
Pede: calcular o volume de uma caixa cúbica de lado dado e apresentar a incerteza associada ao volume.
Dado: o lado l tem valor e incerteza \,l=(50,5\pm 0,5)\\ \mathrm{cm}.
Portanto queremos o volume V e sua incerteza absoluta \Delta V, expressos com algarismos e arredondamento adequados.
Passo 2
Fórmula do volume e interpretação das variáveis (aula curta).
Para um cubo de lado l a fórmula do volume é
V = l^3.
Aqui V é o volume em \mathrm{cm}^3 e l é o comprimento do lado em \mathrm{cm}. Na prova, dada a incerteza em l, vamos propagar essa incerteza para V usando derivadas (método linear de propagação), que é suficiente quando a incerteza relativa é pequena.
Passo 3
Regra de propagação (aula curta sobre o método).
Se V depende de l por V(l), a incerteza absoluta aproximada em V é
\Delta V \approx \left|\frac{dV}{dl}\right| \Delta l.
Isto vem da expansão linear de Taylor: variação em V ≈ derivada × variação em l. Esse é o método padrão em provas quando se pede incerteza de uma função monovariável.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso (cálculo simbólico).
Como V=l^3, calculamos a derivada
\frac{dV}{dl} = 3 l^2.
Portanto
\Delta V \approx 3 l^2 \,\Delta l.
Também é útil a forma relativa:
\frac{\Delta V}{V} \approx 3\frac{\Delta l}{l},
que diz que a incerteza relativa no volume é aproximadamente três vezes a incerteza relativa no lado — razoável porque o volume escala como o cubo do lado.
Passo 5
Cálculo do volume nominal passo a passo (sem pular etapas).
Primeiro calcular l^2:
e então \Delta V \approx 0,02970297\times 128787,625 \approx 3825,375, consistente com o cálculo anterior.
Passo 7
Arredondamento e apresentação final (aula curta sobre como escolher algarismos significativos).
Regra prática: a incerteza costuma ser dada com uma ou duas algarismos significativos. Aqui adotamos duas algarismos significativos para \Delta V: 3825,375 arredondado para 3800\\ \mathrm{cm}^3 (dois algarismos significativos, escrito como 3{,}8\times10^3). Ao apresentar V\pm\Delta V devemos arredondar V para a mesma casa decimal da incerteza (a incerteza em 3800 tem casa das centenas), então arredondamos V=128787,625 para 128800\\ \mathrm{cm}^3.
Passo 8
Interpretação final rápida e incentivo.
O volume calculado é aproximadamente 1{,}29\times10^5\\ \mathrm{cm}^3 com incerteza de ordem 3{,}8\times10^3\\ \mathrm{cm}^3. Boa! Mesmo com pouco tempo, aplicar derivada para propagar erro é direto e confiável para funções polinomiais como essa — lembra que a incerteza relativa cresce como o expoente (aqui 3).