Q5: Calculando a energia cinética

Suponha que uma partícula de massa m=(0,132 \pm 0,001) \mathrm{kg} viaje a uma velocidade de v=(50,2 \pm 0,5) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Qual a energia cinética da partícula?
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (já peguei estes valores do enunciado):
  • Massa: m=(0,132 \pm 0,001)\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade: v=(50,2 \pm 0,5)\\ \mathrm{m/s}.
A pergunta é: calcular a energia cinética da partícula e sua incerteza associada.

Passo 2

Fórmula da energia cinética e significado de cada símbolo.
A energia cinética de uma partícula é dada por
K=\tfrac{1}{2}\,m\,v^{2},
onde:
  • K é a energia cinética (em joules, \mathrm{J}),
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • v é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
Aqui as grandezas m e v têm incertezas; precisamos calcular a incerteza em K decorrente das incertezas em m e v.

Passo 3

Cálculo de v^{2} de forma direta (sem pular etapas):
v^{2}=(50,2)^{2}=50^{2}+2\cdot50\cdot0,2+0,2^{2}=2500+20+0,04=2520,04.

Passo 4

Cálculo numérico de K (valor central, sem incerteza ainda):
K=\tfrac{1}{2}\,m\,v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot0,132\cdot2520,04.
Calculemos passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot0,132=0,066,
0,066\cdot2520,04=166,32264.
Logo o valor central é
K=166,32264\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Como propagar incertezas? (aula curta e prática)
Usamos a fórmula de propagação para funções de variáveis independentes: se K=K(m,v), então a variância de K é
\sigma_{K}^{2}=\left(\frac{\partial K}{\partial m}\right)^{2}\sigma_{m}^{2}+\left(\frac{\partial K}{\partial v}\right)^{2}\sigma_{v}^{2},
onde \sigma_{m} e \sigma_{v} são as incertezas em m e v. Isso vem da expansão em série de Taylor de primeira ordem e da hipótese de independência estatística entre m e v.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial K}{\partial m}=\tfrac{1}{2}v^{2}, \qquad \frac{\partial K}{\partial v}=m v.

Passo 6

Avaliação numérica das derivadas e termos da variância.
Primeiro:
\frac{\partial K}{\partial m}=\tfrac{1}{2}v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot2520,04=1260,02.
Segundo:
\frac{\partial K}{\partial v}=m v=0,132\cdot50,2=6,6264.
As incertezas dadas são \sigma_{m}=0,001\\ \mathrm{kg} e \sigma_{v}=0,5\\ \mathrm{m/s}.
Agora os termos da variância:
\left(\frac{\partial K}{\partial m}\right)^{2}\sigma_{m}^{2}=(1260,02)^{2}\cdot(0,001)^{2}=(1,26002)^{2}\approx1,5876504,
\left(\frac{\partial K}{\partial v}\right)^{2}\sigma_{v}^{2}=(6,6264)^{2}\cdot(0,5)^{2}=(6,6264)^{2}\cdot0,25.
Calculemos (6,6264)^{2}:
(6,6264)^{2}\approx43,90917696,
e portanto
(6,6264)^{2}\cdot0,25\approx10,97729424.

Passo 7

Soma das variâncias e desvio padrão final:
\sigma_{K}^{2}\approx1,5876504+10,97729424=12,56494464,
\sigma_{K}=\sqrt{12,56494464}\approx3,544.
Logo a incerteza em K é aproximadamente 3,54\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Arredondamento e apresentação do resultado final (regras rápidas).
Regra usual: apresentar a incerteza com uma casa significativa (ou duas se o primeiro dígito for 1 ou 2). Aqui \sigma_{K}\approx3,54, então com uma casa significativa fica \sigma_{K}\approx4\\ \mathrm{J}. Ao ajustar o valor central para a mesma ordem (unidades), temos K\approx166\\ \mathrm{J}.
Se quisermos manter duas casas significativas na incerteza: \sigma_{K}\approx3,5\\ \mathrm{J} e então o valor central com uma casa decimal compatível seria K\approx166,3\\ \mathrm{J}. Ambos formatos são aceitáveis; o formato com incerteza em uma casa é o mais frequentemente usado em relatórios rápidos.

Resposta

K=(166 \pm 4)\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados