Calcular:
det[cccc-2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4times4. O conteúdo aqui é cálculo de determinante usando operações elementares de linha (que não alteram o valor do determinante) e expansão de Laplace para reduzir a dimensão. Vamos eliminar elementos abaixo de um pivô e depois expandir pelo primeiro coluna.

Passo 2

Escrevemos a matriz A e escolhemos como pivô o elemento -1 da segunda linha, primeira coluna. Usamos operações do tipo Ri Ri - k,R2 para zerar a primeira coluna em todas as outras linhas:
A= -2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1
Fazendo
R1!!R1-2R2, R3!!R3-3R2, R4!!R4-2R2,
não alteramos o determinante e obtemos a matriz
M= -1 & 0 & 1 & -2 0 & -3 & -3 & 2 0 & -1 & -7 & 7 0 & 2 & -5 & 3

Passo 3

Como a primeira coluna de M tem apenas um elemento não nulo ( m11=-1), podemos usar expansão de Laplace pela primeira coluna:
det(A)=det(M) =sumi=1^4(-1)^i+1mi1det(Mi1) =(-1)^1+1(-1)det(D) =-det(D),
onde D é o menor extraído de M removendo linha 1 e coluna 1:
D= -3 & -3 & 2 -1 & -7 & 7 2 & -5 & 3

Passo 4

Agora calculamos det(D) por regra de Sarrus ou fórmula de expansão em primeira linha:
det(D) =(-3)det!-7&7-5&3 -(-3)det!-1&72&3 +2det!-1&-72&-5
Calculando cada menor:
det!-7&7-5&3 =(-7)cdot3 - 7cdot(-5)=14,
det!-1&72&3 =(-1)cdot3 - 7cdot2=-17,
det!-1&-72&-5 =(-1)cdot(-5) - (-7)cdot2=19
Substituindo,
det(D) =(-3)cdot14 -(-3)cdot(-17) +2cdot19 =-42 -51 +38 =-55

Passo 5

Voltando à relação det(A)=-det(D), temos
det(A)=-(-55)=55

Resposta

55

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