Calcular analiticamente e numericamente (usar o Matlab algum programa matemático similar) os autovalores e autovetores (definir uma base ortonormal) do tensor de segunda ordem abaixo. Há a possibilidade neste caso dos autovetores não serem ortogonais? Em caso positivo, exemplifique.
A=\left[\begin{array}{ccc} 5 & 1 & \sqrt{2} \\\\ 1 & 5 & \sqrt{2} \\\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & 6 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores de segunda ordem do tensor
A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & \sqrt{2} \\\\ 1 & 5 & \sqrt{2} \\\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & 6 \end{pmatrix}
Analiticamente precisamos montar o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e resolver para \lambda, depois encontrar os vetores próprios. Numéricamente podemos usar o comando eig(A) no Matlab para conferir os resultados. Como A é simétrica real, esperamos uma base ortonormal de autovetores.

Passo 2

Procuramos primeiro um autovetor simples. Note que, se tomarmos v_1=(1,-1,0),
A\,v_1 = \begin{pmatrix}5\cdot1 +1\cdot(-1)+\sqrt2\cdot0 \\[6pt] 1\cdot1 +5\cdot(-1)+\sqrt2\cdot0 \\[6pt] \sqrt2\cdot1 + \sqrt2\cdot(-1)+6\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\\\ -4 \\\\ 0\end{pmatrix} =4\,v_1.
Logo \lambda_1=4 é um autovalor com autovetor v_1.]

Passo 3

Para os restantes, buscamos vetores da forma v=(1,1,\alpha)\). Impondo \[A\,v = \lambda\,v \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 6 + \sqrt2\,\alpha = \lambda,\\\\ 2\sqrt2 + 6\alpha = \lambda\,\alpha, \end{cases}
da segunda equação obtemos \alpha^2=2\], i.e.\ \(\alpha=\pm\sqrt2.
Para \alpha=+\sqrt2 vem \lambda=6+2=8, gerando v_2=(1,1,\sqrt2).
Para \alpha=-\sqrt2 vem \lambda=6-2=4, gerando v_3=(1,1,-\sqrt2).

Passo 4

Normalizamos v_1,v_2,v_3 para obter uma base ortonormal:
u_1 = \frac1{\sqrt{2}}(1,-1,0), \quad u_2 = \frac1{2}(1,1,\sqrt2), \quad u_3 = \frac1{2}(1,1,-\sqrt2).
Verifica-se facilmente que \{u_1,u_2,u_3\} é ortonormal e diagonaliza A.

Passo 5

Usando Matlab ou similar com \texttt{[V,D] = eig(A);} obtém-se numericamente
D = \mathrm{diag}(4,4,8), \quad V = [\,u_1\;u_3\;u_2\,]
até permutações de autovalor/autovetor, confirmando \lambda=4,4,8 e os vetores acima.

Passo 6

Autovetores de uma matriz real simétrica são sempre ortogonais. Se a matriz não for simétrica, pode ocorrer autovetores não ortogonais. Exemplo simples:
B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] 0 & 2\end{pmatrix}
tem autovalores 1,2 e autovetores w_1=(1,0), w_2=(1,1), cujo produto interno \langle w_1,w_2\rangle=1\neq0, logo não são ortogonais.]

Resposta

Autovalores: \lambda_1=4 (multiplicidade 2), \lambda_2=8.
Autovetores normalizados (base ortonormal):
u_1 = \frac1{\sqrt{2}}(1,-1,0),\quad u_2 = \frac1{2}(1,1,-\sqrt2),\quad u_3 = \frac1{2}(1,1,\sqrt2).
Como A é simétrica, seus autovetores são sempre ortogonais. Para matrizes não simétricas, autovetores podem não ser ortogonais (por exemplo B=[\begin{smallmatrix}1&1\\\ 0&2\end{smallmatrix}] acima).

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