Calcular analiticamente e numericamente (usar o Matlab algum programa matemático similar) os autovalores e autovetores (definir uma base ortonormal) do tensor de segunda ordem abaixo. Há a possibilidade neste caso dos autovetores não serem ortogonais? Em caso positivo, exemplifique.
Analiticamente precisamos montar o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e resolver para \lambda, depois encontrar os vetores próprios. Numéricamente podemos usar o comando eig(A) no Matlab para conferir os resultados. Como A é simétrica real, esperamos uma base ortonormal de autovetores.
Passo 2
Procuramos primeiro um autovetor simples. Note que, se tomarmos v_1=(1,-1,0),
Verifica-se facilmente que \{u_1,u_2,u_3\} é ortonormal e diagonaliza A.
Passo 5
Usando Matlab ou similar com \texttt{[V,D] = eig(A);} obtém-se numericamente
D = \mathrm{diag}(4,4,8), \quad V = [\,u_1\;u_3\;u_2\,]
até permutações de autovalor/autovetor, confirmando \lambda=4,4,8 e os vetores acima.
Passo 6
Autovetores de uma matriz real simétrica são sempre ortogonais. Se a matriz não for simétrica, pode ocorrer autovetores não ortogonais. Exemplo simples:
B = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt] 0 & 2\end{pmatrix}
tem autovalores 1,2 e autovetores w_1=(1,0), w_2=(1,1), cujo produto interno \langle w_1,w_2\rangle=1\neq0, logo não são ortogonais.]
Como A é simétrica, seus autovetores são sempre ortogonais. Para matrizes não simétricas, autovetores podem não ser ortogonais (por exemplo B=[\begin{smallmatrix}1&1\\\ 0&2\end{smallmatrix}] acima).