Mostre através de uma expansão direta que o produto \lambda=\varepsilon_{i j k} a_{i} b_{j} c_{k} é igual ao determinante da matriz:
\left|\left[\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right]\right|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, definindo \displaystyle \lambda = \varepsilon_{ijk}\,a_i\,b_j\,c_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi–Civita em três dimensões,
esse \lambda coincide com o determinante da matriz cujas linhas são os vetores a, b e c.

Passo 2

Lembrando a definição do símbolo de Levi–Civita em três dimensões: \varepsilon_{ijk}=+1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), \varepsilon_{ijk}=-1 se for uma permutação ímpar, e \varepsilon_{ijk}=0 caso algum índice se repita.
Logo
\lambda \;=\;\sum_{i,j,k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\,a_i\,b_j\,c_k.

Passo 3

Dos 3^3=27 termos da soma, só contribuem os que são permutações de (1,2,3). Há seis permutações:
\lambda =+\,a_1 b_2 c_3 \;+\;a_2 b_3 c_1 \;+\;a_3 b_1 c_2 \;-\;a_1 b_3 c_2 \;-\;a_2 b_1 c_3 \;-\;a_3 b_2 c_1.

Passo 4

Recordando a fórmula explícita do determinante de uma matriz \displaystyle M=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix},
temos
\det M = a_1 b_2 c_3 + a_2 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_2 - a_1 b_3 c_2 - a_2 b_1 c_3 - a_3 b_2 c_1.
Vemos que essa expressão coincide exatamente com \lambda.

Resposta

\displaystyle \varepsilon_{ijk}a_i b_j c_k = \det\begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}.

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