Sabendo-se que u e v são campos vetoriais, utilizar o cálculo tensorial com notação indicial para verificar as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
utilizando cálculo tensorial em notação indicial. Para isso, vamos usar a definição indicial do operador rotacional e do divergente, além da propriedade de comutação das derivadas parciais.
Passo 2
Definimos em notação indicial:
o componente -ésimo do rotacional de
é
o componente
e o divergente de um campo
é
Passo 3
Aplicando essas definições,
onde usamos a convenção de soma de Einstein.
Passo 4
Como
é suficientemente suave, as derivadas parciais comutam:
Mas
é antissimétrica em
e
, enquanto
é simétrica em
e
. Logo, a contração de um tensor simétrico com um antissimétrico dá zero: