Sabendo-se que u e v são campos vetoriais, utilizar o cálculo tensorial com notação indicial para verificar as seguintes identidades:
\boldsymbol{\nabla} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{v})=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
\nabla \cdot (\nabla \times v) = 0
utilizando cálculo tensorial em notação indicial. Para isso, vamos usar a definição indicial do operador rotacional e do divergente, além da propriedade de comutação das derivadas parciais.

Passo 2

Definimos em notação indicial:
o componente i-ésimo do rotacional de v é
(\nabla \times v)_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j v_k
e o divergente de um campo A é
\nabla \cdot A = \partial_i A_i.

Passo 3

Aplicando essas definições,
\nabla \cdot (\nabla \times v) = \partial_i\bigl((\nabla \times v)_i\bigr) = \partial_i\bigl(\varepsilon_{ijk}\,\partial_j v_k\bigr) = \varepsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j v_k,
onde usamos a convenção de soma de Einstein.

Passo 4

Como v é suficientemente suave, as derivadas parciais comutam:
\partial_i\partial_j v_k = \partial_j\partial_i v_k.
Mas \varepsilon_{ijk} é antissimétrica em i e j, enquanto \partial_i\partial_j v_k é simétrica em i e j. Logo, a contração de um tensor simétrico com um antissimétrico dá zero:
\varepsilon_{ijk}\,\partial_i\partial_j v_k = 0.

Resposta

0

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