Calcular o ângulo entre os vetores
e
segundo o produto interno usual do
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o ângulo entre os vetores
e
usando o produto interno usual em
. Informações dadas: os dois vetores são
e
. Não há mais condições escondidas — só queremos o ângulo entre eles.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que relaciona produto interno e ângulo. Para dois vetores quaisquer
e
em
(com o produto interno usual), a definição é
onde:
-
é o produto interno (ou produto escalar) entre e ; -
e são as normas (comprimentos) dos vetores e ; -
é o ângulo entre e , com .
Para obterisolamos :
Explicando em palavras: o produto interno mede uma “projeção” entre vetores; dividindo pelo produto das normas obtemos o cosseno do ângulo entre eles. Na prova, essa é a fórmula que você deve aplicar direto.
Passo 3
Calcular o produto interno dos vetores
e
. No produto interno usual em
fazemos componente a componente:
Agora faço a conta passo a passo:
e
. Somando,
Passo 4
Calcular as normas
e
. A norma de um vetor
no plano é
Para
temos
Podemos simplificar
como
. Para
temos
Passo 5
Substituir o produto interno e as normas na fórmula do cosseno:
Simplificando o denominador:
Uma forma equivalente e frequentemente usada é
.
Passo 6
Agora precisamos achar
tal que
. Lembre que
. Portanto
Em graus isso é
. Se quiser decorar: o cosseno de
(ou
) vale
, que é exatamente o valor encontrado.