Calcular o ângulo entre os vetores (2,2) e (1,0) segundo o produto interno usual do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre os vetores (2,2) e (1,0) usando o produto interno usual em \mathbb{R}^2. Informações dadas: os dois vetores são (2,2) e (1,0). Não há mais condições escondidas — só queremos o ângulo entre eles.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que relaciona produto interno e ângulo. Para dois vetores quaisquer u e v em \mathbb{R}^2 (com o produto interno usual), a definição é
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\cos\theta,
onde:
  • u\cdot v é o produto interno (ou produto escalar) entre u e v;
  • \|u\| e \|v\| são as normas (comprimentos) dos vetores u e v;
  • \theta é o ângulo entre u e v, com 0\le\theta\le\pi.
    Para obter \theta isolamos \cos\theta:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Explicando em palavras: o produto interno mede uma “projeção” entre vetores; dividindo pelo produto das normas obtemos o cosseno do ângulo entre eles. Na prova, essa é a fórmula que você deve aplicar direto.

Passo 3

Calcular o produto interno dos vetores u=(2,2) e v=(1,0). No produto interno usual em \mathbb{R}^2 fazemos componente a componente:
u\cdot v = 2\cdot 1 + 2\cdot 0.
Agora faço a conta passo a passo: 2\cdot 1 = 2 e 2\cdot 0 = 0. Somando,
u\cdot v = 2 + 0 = 2.

Passo 4

Calcular as normas \|u\| e \|v\|. A norma de um vetor w=(w_1,w_2) no plano é
\|w\| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2}.
Para u=(2,2) temos
\|u\| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}.
Podemos simplificar \sqrt{8} como \sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = 2\sqrt{2}. Para v=(1,0) temos
\|v\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1.

Passo 5

Substituir o produto interno e as normas na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{2}{(2\sqrt{2})\cdot 1}.
Simplificando o denominador:
\cos\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Uma forma equivalente e frequentemente usada é \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Agora precisamos achar \theta tal que \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}. Lembre que \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}. Portanto
\theta = \frac{\pi}{4}.
Em graus isso é \theta = 45^\circ. Se quiser decorar: o cosseno de 45^\circ (ou \pi/4) vale \sqrt{2}/2, que é exatamente o valor encontrado.

Resposta

\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4} = 45^\circ

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