Considere u=\left[\begin{array}{ll}a_{1} & b_{1} \\\ c_{1} & d_{1}\end{array}\right] e o produto interno \langle u, v\rangle=2 a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}+3 d_{1} d_{2}. Para u=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] calcule:
\|v\|

Passo 1

O enunciado dá o produto interno
\langle u,v\rangle = 2 a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} + 3 d_{1} d_{2}
onde u=\left[\begin{array}{cc}a_{1} & b_{1} \\\ c_{1} & d_{1}\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{cc}a_{2} & b_{2} \\\ c_{2} & d_{2}\end{array}\right]. Foi dado especificamente
u=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad v=\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
A pergunta que precisamos responder é: calcule \|v\|.

Passo 2

O que é esse produto interno na prática? É uma forma de multiplicar dois vetores (aqui representados pelas entradas das matrizes) dando um número, com pesos diferentes para cada componente: a componente superior-esquerda é multiplicada por 2, a superior-direita por 1, a inferior-esquerda por 1 e a inferior-direita por 3. Cada símbolo significa:
  • a_i,b_i,c_i,d_i são as entradas da matriz i-ésima;
  • o termo 2 a_1 a_2 significa que as entradas a_1 e a_2 são multiplicadas e depois ponderadas por 2;
  • os outros termos são análogos.

Passo 3

Definição útil: a norma associada a um produto interno é a raiz quadrada do produto interno do vetor consigo mesmo. Ou seja,
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}.
Isto significa que primeiro calculamos \langle v,v\rangle usando a fórmula do produto interno e depois extraímos a raiz quadrada.

Passo 4

Extraio as componentes de v diretamente da matriz dada (estou pegando esses valores da matriz v mostrada no enunciado):
a_{2}=0,\quad b_{2}=2,\quad c_{2}=1,\quad d_{2}=1.

Passo 5

Agora calculo \langle v,v\rangle substituindo as componentes na fórmula:
\langle v,v\rangle = 2 a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2} + 3 d_{2}^{2}.
Substituindo a_{2}=0, b_{2}=2, c_{2}=1, d_{2}=1:
\langle v,v\rangle = 2\cdot 0^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 3\cdot 1^{2}.
Calculo termo a termo:
2\cdot 0^{2} = 0,\qquad 2^{2}=4,\qquad 1^{2}=1,\qquad 3\cdot 1^{2}=3.
Somando:
\langle v,v\rangle = 0 + 4 + 1 + 3 = 8.

Passo 6

Finalmente aplico a definição da norma:
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle} = \sqrt{8}.
Simplificando a raiz quadrada:
\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = 2\sqrt{2}.

Resposta

2\sqrt{2}

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