Seja u=(1,-1,2) e v=(2,1,0), calcule:
A. \langle u, v\rangle
B. \|u\|
C. \|v\|
D. A distância entre u e v.
E. Encontre um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(1,-1,2)\, e \,v=(2,1,0)\, e pede cinco itens:
A. Calcular \langle u,v\rangle (produto interno entre u e v).
B. Calcular \|u\| (norma de u).
C. Calcular \|v\| (norma de v).
D. Calcular a distância entre u e v.
E. Encontrar um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente a u e v.
As informações relevantes fornecidas são exatamente as coordenadas de u e v acima; nada mais foi pedido nem fornecido.

Passo 2

Definição e cálculo do produto interno.
A definição prática do produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^3 para \,u=(u_1,u_2,u_3)\, e \,v=(v_1,v_2,v_3)\, é:
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.
Aqui cada u_i e v_i é a i-ésima coordenada dos vetores. O produto interno mede “quanto” os vetores apontam na mesma direção (se for positivo apontam em direções com componente comum, se zero são ortogonais).
Aplique à nossa entrada \,u=(1,-1,2)\, e \,v=(2,1,0)\,:
\langle u,v\rangle = 1\cdot 2 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot 0.
Agora calcule termo a termo:
1\cdot 2 = 2,\qquad (-1)\cdot 1 = -1,\qquad 2\cdot 0 = 0.
Somando:
\langle u,v\rangle = 2 + (-1) + 0 = 1.

Passo 3

Definição e cálculo da norma.
A norma Euclidiana de um vetor \,w=(w_1,w_2,w_3)\, é
\|w\| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2},
que é a raiz quadrada do produto interno \langle w,w\rangle. Em palavras: some os quadrados das coordenadas e tire a raiz quadrada.
Calcule \|u\| para \,u=(1,-1,2)\,:
\|u\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}.
Calcule cada quadrado:
1^2 = 1,\qquad (-1)^2 = 1,\qquad 2^2 = 4.
Some:
\|u\| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.

Passo 4

Cálculo de \|v\|.
Use a mesma fórmula para \,v=(2,1,0)\,:
\|v\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2}.
Calcule:
2^2 = 4,\qquad 1^2 = 1,\qquad 0^2 = 0.
Some:
\|v\| = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}.

Passo 5

Definição e cálculo da distância entre vetores.
A distância Euclidiana entre dois vetores u e v em \mathbb{R}^3 é a norma da diferença:
\mathrm{dist}(u,v)=\|u-v\|.
Primeiro calcule o vetor diferença \,u-v:
u-v = (1-2,\; -1-1,\; 2-0) = (-1,-2,2).
Agora calcule a norma de (-1,-2,2):
\|u-v\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2}.
Calcule quadrados:
(-1)^2 = 1,\qquad (-2)^2 = 4,\qquad 2^2 = 4.
Some:
\|u-v\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.
Portanto a distância entre u e v é 3.

Passo 6

Como encontrar um vetor unitário ortogonal a ambos u e v (ideia e método).
Em \mathbb{R}^3, uma maneira direta de obter um vetor perpendicular a dois vetores é usar o produto vetorial (cross product). Para \,u=(u_1,u_2,u_3)\, e \,v=(v_1,v_2,v_3)\, temos:
u\times v = (u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1).
O resultado é um vetor ortogonal a u e a v. Depois normalizamos (dividimos pela sua norma) para obter um vetor unitário. Note: tanto u\times v quanto o seu oposto -\, (u\times v) são ortogonais a u e v; escolher um sinal ou outro é indiferente, desde que se normalize.

Passo 7

Cálculo do produto vetorial u\times v para \,u=(1,-1,2)\, e \,v=(2,1,0)\,. Use a fórmula componente a componente:
u\times v = \bigl((-1)\cdot 0 - 2\cdot 1,\; 2\cdot 2 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2\bigr).
Calcule cada componente:
\text{1ª comp.} = -1\cdot 0 - 2\cdot 1 = 0 - 2 = -2,ª
\text{2ª comp.} = 2\cdot 2 - 1\cdot 0 = 4 - 0 = 4,ª
\text{3ª comp.} = 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = 1 + 2 = 3.ª
Logo
u\times v = (-2,\,4,\,3).

Passo 8

Verificação de ortogonalidade do vetor u\times v com u e v.
Calcule \langle u,\,u\times v\rangle e \langle v,\,u\times v\rangle.
Primeiro com u:
\langle u,\,u\times v\rangle = 1\cdot(-2) + (-1)\cdot 4 + 2\cdot 3 = -2 -4 +6 = 0.
Agora com v:
\langle v,\,u\times v\rangle = 2\cdot(-2) + 1\cdot 4 + 0\cdot 3 = -4 +4 +0 = 0.
Como os produtos escalares são zero, (-2,4,3) é ortogonal a u e a v, conforme prometido.

Passo 9

Normalização do vetor ortogonal para obter um vetor unitário.
Calcule a norma de (-2,4,3):
\|(-2,4,3)\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}.
Divida o vetor pelo seu comprimento para obter um vetor de norma 1:
w = \frac{1}{\sqrt{29}}(-2,\,4,\,3).
Este w é unitário ( \|w\|=1) e, por construção, ortogonal a u e v. Observação: -w também seria uma resposta válida.

Resposta

A. \langle u,v\rangle = 1
B. \|u\| = \sqrt{6}
C. \|v\| = \sqrt{5}
D. \mathrm{dist}(u,v) = 3
E. Um vetor unitário ortogonal a ambos é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{29}}(-2,\,4,\,3)

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