Seja
e
, calcule:
A.
B.
C.
D. A distância entre
e
.
E. Encontre um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores
e
.
A.
B.
C.
D. A distância entre
E. Encontre um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede cinco itens:
A. Calcular (produto interno entre
e
).
B. Calcular (norma de
).
C. Calcular (norma de
).
D. Calcular a distância entre e
.
E. Encontrar um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente a e
.
A. Calcular
B. Calcular
C. Calcular
D. Calcular a distância entre
E. Encontrar um vetor unitário que seja ortogonal simultaneamente a
As informações relevantes fornecidas são exatamente as coordenadas de
e
acima; nada mais foi pedido nem fornecido.
Passo 2
Definição e cálculo do produto interno.
A definição prática do produto interno (produto escalar) em para
e
é:
A definição prática do produto interno (produto escalar) em
Aqui cada
e
é a
-ésima coordenada dos vetores. O produto interno mede “quanto” os vetores apontam na mesma direção (se for positivo apontam em direções com componente comum, se zero são ortogonais).
Aplique à nossa entrada
e
:
Agora calcule termo a termo:
Somando:
Passo 3
Definição e cálculo da norma.
A norma Euclidiana de um vetor é
A norma Euclidiana de um vetor
que é a raiz quadrada do produto interno
. Em palavras: some os quadrados das coordenadas e tire a raiz quadrada.
Calcule
para
:
Calcule cada quadrado:
Some:
Passo 4
Cálculo de
.
Use a mesma fórmula para :
Use a mesma fórmula para
Calcule:
Some:
Passo 5
Definição e cálculo da distância entre vetores.
A distância Euclidiana entre dois vetores e
em
é a norma da diferença:
A distância Euclidiana entre dois vetores
Primeiro calcule o vetor diferença
:
Agora calcule a norma de
:
Calcule quadrados:
Some:
Portanto a distância entre
e
é
.
Passo 6
Como encontrar um vetor unitário ortogonal a ambos
e
(ideia e método).
Em , uma maneira direta de obter um vetor perpendicular a dois vetores é usar o produto vetorial (cross product). Para
e
temos:
Em
O resultado é um vetor ortogonal a
e a
. Depois normalizamos (dividimos pela sua norma) para obter um vetor unitário. Note: tanto
quanto o seu oposto
são ortogonais a
e
; escolher um sinal ou outro é indiferente, desde que se normalize.
Passo 7
Cálculo do produto vetorial
para
e
. Use a fórmula componente a componente:
Calcule cada componente:
Logo
Passo 8
Verificação de ortogonalidade do vetor
com
e
.
Calcule e
.
Calcule
Primeiro com
:
Agora com
:
Como os produtos escalares são zero,
é ortogonal a
e a
, conforme prometido.
Passo 9
Normalização do vetor ortogonal para obter um vetor unitário.
Calcule a norma de :
Calcule a norma de
Divida o vetor pelo seu comprimento para obter um vetor de norma
:
Este
é unitário (
) e, por construção, ortogonal a
e
. Observação:
também seria uma resposta válida.
Resposta
A.
B.
C.
D.
E. Um vetor unitário ortogonal a ambos é