Calcular os ângulos diretores (em graus) dos seguintes vetores:
Passo 1
O enunciado pede: calcular os ângulos diretores (em graus) do vetor
.
Informações dadas:
- As componentes do vetor são
, e .
O que vamos entregar no final: os três ângulos
,
e
que o vetor faz, respectivamente, com os eixos
,
e
, medidos em graus.
Passo 2
O que são ângulos diretores e como calculá-los (aula rápida, na prática):
- Para um vetor
em , os cossenos diretores são definidos por
onde
é o módulo (norma) do vetor.
- Os ângulos diretores
são obtidos por e de modo análogo para . - Observações práticas e intuitivas:
-
. - Se uma componente for negativa, o cosseno correspondente será negativo e o ângulo ficará entre
e . -
fornece um ângulo no intervalo , que é exatamente o que queremos para ângulos com os eixos.
-
Passo 3
Calcular a norma (módulo) de
:
Portanto
.
Passo 4
Calcular os cossenos diretores (usando a norma que acabamos de obter):
Vamos agora passar esses cossenos para valores numéricos (para obter os ângulos em graus).
Passo 5
Converter os cossenos em ângulos (usar
e converter de radianos para graus).
Primeiro valores numéricos dos cossenos (aproximações):
Primeiro valores numéricos dos cossenos (aproximações):
Agora os ângulos em graus, aplicando
etc. (arredondando sensatamente):
Comentário motivador: repare que
porque a componente
é negativa — faz sentido geométrico: o vetor está inclinado “para o lado negativo” do eixo
.