Calcular os ângulos diretores (em graus) dos seguintes vetores:
\vec{v}=(8,-3,2)

Passo 1

O enunciado pede: calcular os ângulos diretores (em graus) do vetor \vec{v}=(8,-3,2).
Informações dadas:
  • As componentes do vetor são \;v_x=8, \;v_y=-3 e \;v_z=2.
O que vamos entregar no final: os três ângulos \alpha, \beta e \gamma que o vetor faz, respectivamente, com os eixos x, y e z, medidos em graus.

Passo 2

O que são ângulos diretores e como calculá-los (aula rápida, na prática):
  • Para um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) em \mathbb{R}^3, os cossenos diretores são definidos por
\cos\alpha=\frac{v_x}{\|\vec{v}\|},\qquad \cos\beta=\frac{v_y}{\|\vec{v}\|},\qquad \cos\gamma=\frac{v_z}{\|\vec{v}\|},
onde \|\vec{v}\| é o módulo (norma) do vetor.
  • Os ângulos diretores \alpha,\beta,\gamma são obtidos por \alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{v_x}{\|\vec{v}\|}\right) e de modo análogo para \beta,\gamma.
  • Observações práticas e intuitivas:
    • \|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
    • Se uma componente for negativa, o cosseno correspondente será negativo e o ângulo ficará entre 90^\circ e 180^\circ.
    • \operatorname{arccos} fornece um ângulo no intervalo [0^\circ,180^\circ], que é exatamente o que queremos para ângulos com os eixos.

Passo 3

Calcular a norma (módulo) de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{8^2+(-3)^2+2^2}=\sqrt{64+9+4}=\sqrt{77}.
Portanto \|\vec{v}\|=\sqrt{77}.

Passo 4

Calcular os cossenos diretores (usando a norma que acabamos de obter):
\cos\alpha=\frac{8}{\sqrt{77}},\qquad \cos\beta=\frac{-3}{\sqrt{77}},\qquad \cos\gamma=\frac{2}{\sqrt{77}}.
Vamos agora passar esses cossenos para valores numéricos (para obter os ângulos em graus).

Passo 5

Converter os cossenos em ângulos (usar \operatorname{arccos} e converter de radianos para graus).
Primeiro valores numéricos dos cossenos (aproximações):
\frac{8}{\sqrt{77}}\approx 0,9114378278,\qquad \frac{-3}{\sqrt{77}}\approx -0,3417891854,\qquad \frac{2}{\sqrt{77}}\approx 0,2278594569.
Agora os ângulos em graus, aplicando \alpha=\operatorname{arccos}(\cdot) etc. (arredondando sensatamente):
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{8}{\sqrt{77}}\right)\approx 24{,}23^\circ,
\beta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-3}{\sqrt{77}}\right)\approx 109{,}87^\circ,
\gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{2}{\sqrt{77}}\right)\approx 77{,}00^\circ.
Comentário motivador: repare que \beta>90^\circ porque a componente v_y é negativa — faz sentido geométrico: o vetor está inclinado “para o lado negativo” do eixo y.

Resposta

\alpha\approx24{,}23^\circ
\beta\approx109{,}87^\circ
\gamma\approx77{,}00^\circ

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