Calcular os ângulos diretores (em graus) dos seguintes vetores:
\vec{v}=(8,-3,1)

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(8,-3,1) e pede os ângulos diretores (em graus) desse vetor.
Informações fornecidas:
  • componente em x: v_x=8,
  • componente em y: v_y=-3,
  • componente em z: v_z=1.
O que é pedido: calcular os três ângulos diretores \alpha,\beta,\gamma (respectivamente, o ângulo entre \vec{v} e os eixos positivos x, y e z), em graus.

Passo 2

Definição e fórmulas essenciais (sem pânico — é só decorar três relações fáceis).
Os ângulos diretores \alpha,\beta,\gamma satisfazem:
\cos\alpha=\dfrac{v_x}{\|\vec{v}\|},\qquad \cos\beta=\dfrac{v_y}{\|\vec{v}\|},\qquad \cos\gamma=\dfrac{v_z}{\|\vec{v}\|}.
Aqui:
  • \|\vec{v}\| é o comprimento (norma) do vetor \vec{v};
  • v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor nas direções x,y,z;
  • \cos\alpha é o cosseno do ângulo entre \vec{v} e o eixo x, e assim por diante.
Para obter os ângulos em graus usa-se \alpha=\operatorname{arccos}(\cos\alpha) e converte-se de radianos para graus (a maioria das calculadoras já dá direto em graus).

Passo 3

Calcular a norma \|\vec{v}\|. A fórmula da norma de um vetor em \mathbb{R}^3 é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
Aplicando ao vetor dado:
\|\vec{v}\|=\sqrt{8^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{64+9+1}=\sqrt{74}.

Passo 4

Escrever os cossenos dos ângulos diretores em função de \sqrt{74}:
\cos\alpha=\dfrac{8}{\sqrt{74}},\qquad \cos\beta=\dfrac{-3}{\sqrt{74}},\qquad \cos\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{74}}.
Se quiser ver em forma decimal (útil para calcular arccos):
\cos\alpha\approx 0,9303656302,\qquad \cos\beta\approx -0,3481551114,\qquad \cos\gamma\approx 0,1160450371.

Passo 5

Explicar como passar do cosseno para o ângulo: \theta=\operatorname{arccos}(\text{valor}). A função \operatorname{arccos} dá o ângulo cujo cosseno é o valor indicado; para valores negativos o resultado fica entre 90^\circ e 180^\circ, que é exatamente o que acontece quando a componente é negativa.
Agora calculamos cada ângulo (usando \operatorname{arccos} e expressando o resultado em graus).

Passo 6

Cálculo numérico (aproximações com duas casas decimais, que são suficientes para prova):
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{8}{\sqrt{74}}\right)\approx 21,57^\circ,
\beta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-3}{\sqrt{74}}\right)\approx 110,38^\circ,
\gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{74}}\right)\approx 83,34^\circ.

Passo 7

Verificação rápida (checar consistência): para ângulos diretores vale a identidade
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.
Substituindo os cossenos exatos \dfrac{8}{\sqrt{74}},\dfrac{-3}{\sqrt{74}},\dfrac{1}{\sqrt{74}} obtém-se \dfrac{64+9+1}{74}=1, então está consistente.

Resposta

\alpha\approx 21,57^\circ
\beta\approx 110,38^\circ
\gamma\approx 83,34^\circ

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