Calcular os ângulos diretores (em graus) dos seguintes vetores:
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede os ângulos diretores (em graus) desse vetor.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- componente em
: , - componente em
: , - componente em
: .
O que é pedido: calcular os três ângulos diretores
(respectivamente, o ângulo entre
e os eixos positivos
,
e
), em graus.
Passo 2
Definição e fórmulas essenciais (sem pânico — é só decorar três relações fáceis).
Os ângulos diretores satisfazem:
Os ângulos diretores
Aqui:
-
é o comprimento (norma) do vetor ; -
são as componentes do vetor nas direções ; -
é o cosseno do ângulo entre e o eixo , e assim por diante.
Para obter os ângulos em graus usa-se
e converte-se de radianos para graus (a maioria das calculadoras já dá direto em graus).
Passo 3
Calcular a norma
. A fórmula da norma de um vetor em
é
Aplicando ao vetor dado:
Passo 4
Escrever os cossenos dos ângulos diretores em função de
:
Se quiser ver em forma decimal (útil para calcular arccos):
Passo 5
Explicar como passar do cosseno para o ângulo:
. A função
dá o ângulo cujo cosseno é o valor indicado; para valores negativos o resultado fica entre
e
, que é exatamente o que acontece quando a componente é negativa.
Agora calculamos cada ângulo (usando
e expressando o resultado em graus).
Passo 6
Cálculo numérico (aproximações com duas casas decimais, que são suficientes para prova):
Passo 7
Verificação rápida (checar consistência): para ângulos diretores vale a identidade
Substituindo os cossenos exatos
obtém-se
, então está consistente.