Calcular os ângulos diretores (em graus) dos seguintes vetores:
\vec{v}=(4,-3,5)

Passo 1

O enunciado pede: calcular os ângulos diretores (em graus) do vetor \vec{v}=(4,-3,5).
Informações dadas:
  • As componentes do vetor são v_x=4, v_y=-3 e v_z=5.
O que exatamente é pedido:
  • Calcular os três ângulos diretores \alpha, \beta e \gamma, que são, respectivamente, os ângulos entre \vec{v} e os eixos positivos x, y e z.

Passo 2

Definição e fórmula básica (explicando devagar).
  • Os ângulos diretores são os ângulos entre o vetor e cada eixo coordenado. As fórmulas usam os chamados cossenos diretores, que são as projeções normalizadas das componentes do vetor:
\cos\alpha=\frac{v_x}{\|\vec{v}\|},\qquad \cos\beta=\frac{v_y}{\|\vec{v}\|},\qquad \cos\gamma=\frac{v_z}{\|\vec{v}\|}.
  • Aqui \|\vec{v}\| é o módulo (norma) do vetor, dado por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
  • Depois de obter os cossenos diretores, os ângulos são obtidos por
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{v_x}{\|\vec{v}\|}\right),\quad \beta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{v_y}{\|\vec{v}\|}\right),\quad \gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{v_z}{\|\vec{v}\|}\right).
  • Observação prática: \operatorname{arccos} dá o ângulo em radianos; para passar para graus multiplica-se por \dfrac{180}{\pi}. Em cálculos de prova com calculadora, pode-se pedir a função \operatorname{arccos} já em modo graus.

Passo 3

Calcular o módulo \|\vec{v}\|.
  • Usando as componentes fornecidas:
\|\vec{v}\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}+5^{2}}=\sqrt{16+9+25}=\sqrt{50}.
  • Simplificando a raiz:
\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}.
Assim, \|\vec{v}\|=5\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular os cossenos diretores (mostrando a simplificação algébrica).
  • Para x:
\cos\alpha=\frac{v_x}{\|\vec{v}\|}=\frac{4}{5\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{10}=\frac{2\sqrt{2}}{5}.
  • Para y:
\cos\beta=\frac{v_y}{\|\vec{v}\|}=\frac{-3}{5\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{2}}{10}.
  • Para z:
\cos\gamma=\frac{v_z}{\|\vec{v}\|}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Cheque rápido (identidade dos cossenos diretores):
\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{3\sqrt{2}}{10}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} =\frac{8}{25}+\frac{9}{50}+\frac{1}{2}=1,
o que confirma coerência dos valores.

Passo 5

Expressar os ângulos em forma exata (antes de aproximar).
  • Usando \operatorname{arccos}:
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right),\qquad \beta=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{3\sqrt{2}}{10}\right),\qquad \gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • Observação: \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) é um valor notório:
\gamma=45^\circ.

Passo 6

Calcular as aproximações numéricas (transformar para graus, passo a passo).
  • Para \alpha: usar \alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2\sqrt{2}}{5}\right).
    • Numericamente \tfrac{2\sqrt{2}}{5}\approx0,5656854249.
    • Portanto \alpha\approx\operatorname{arccos}(0,5656854249)\approx55,77^\circ (arredondando para duas casas decimais).
  • Para \beta: usar \beta=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{3\sqrt{2}}{10}\right).
    • Numericamente -\tfrac{3\sqrt{2}}{10}\approx-0,4242640687.
    • Portanto \beta\approx\operatorname{arccos}(-0,4242640687)\approx115,77^\circ (arredondando para duas casas decimais).
  • Para \gamma:
    • Como visto, \gamma=45^\circ exatamente.
Dica rápida para prova: se a componente é negativa, o ângulo com o eixo é maior que 90^\circ (porque o cosseno é negativo), então espere \beta>90^\circ; isso ajuda a conferir se o sinal do resultado está coerente.

Resposta

\alpha\approx55,77^\circ
\beta\approx115,77^\circ
\gamma=45^\circ

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