Calcular os ângulos diretores (em graus) dos seguintes vetores:
Passo 1
O enunciado pede: calcular os ângulos diretores (em graus) do vetor
.
Informações dadas:
- As componentes do vetor são
, e .
O que exatamente é pedido:
- Calcular os três ângulos diretores
, e , que são, respectivamente, os ângulos entre e os eixos positivos , e .
Passo 2
Definição e fórmula básica (explicando devagar).
- Os ângulos diretores são os ângulos entre o vetor e cada eixo coordenado. As fórmulas usam os chamados cossenos diretores, que são as projeções normalizadas das componentes do vetor:
- Aqui
é o módulo (norma) do vetor, dado por
- Depois de obter os cossenos diretores, os ângulos são obtidos por
- Observação prática:
dá o ângulo em radianos; para passar para graus multiplica-se por . Em cálculos de prova com calculadora, pode-se pedir a função já em modo graus.
Passo 3
Calcular o módulo
.
- Usando as componentes fornecidas:
- Simplificando a raiz:
Assim,
.
Passo 4
Calcular os cossenos diretores (mostrando a simplificação algébrica).
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Cheque rápido (identidade dos cossenos diretores):
o que confirma coerência dos valores.
Passo 5
Expressar os ângulos em forma exata (antes de aproximar).
- Usando
:
- Observação:
é um valor notório:
Passo 6
Calcular as aproximações numéricas (transformar para graus, passo a passo).
- Para
: usar . - Numericamente
. - Portanto
(arredondando para duas casas decimais).
- Numericamente
- Para
: usar . - Numericamente
. - Portanto
(arredondando para duas casas decimais).
- Numericamente
- Para
: - Como visto,
exatamente.
- Como visto,
Dica rápida para prova: se a componente é negativa, o ângulo com o eixo é maior que
(porque o cosseno é negativo), então espere
; isso ajuda a conferir se o sinal do resultado está coerente.