Calcular aproximadamente, usando diferencial:
raiz3,98

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular aproximadamente a raiz quadrada de 3,98 usando diferenciais. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de diferenciais, uma técnica útil para fazer aproximações rápidas quando temos uma função que é fácil de calcular em um ponto próximo ao valor desejado. Vamos precisar da função raiz quadrada e entender como usar sua derivada para fazer a aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que estamos lidando. Aqui, queremos encontrar raizx, então nossa função é:
f(x) = raizx

Passo 3

Agora, escolhemos um ponto próximo a 3,98 onde a raiz quadrada é fácil de calcular. O número 4 é uma ótima escolha porque raiz4 = 2, que é simples de trabalhar.

Passo 4

Calculamos a derivada da função f(x), que nos dá a taxa de variação da função naquele ponto. A derivada de raizx é:
f'(x) = 12raizx

Passo 5

Vamos calcular a derivada no ponto escolhido, que é x0 = 4:
f'(4) = 12raiz4 = 12 times 2 = 14

Passo 6

Agora, determinamos a pequena mudança em x, que chamamos de De. Como queremos aproximar raiz3,98, temos:
De

Passo 7

Usamos a fórmula do diferencial para encontrar a mudança aproximada em f(x), que é De:
De

Passo 8

Finalmente, somamos essa mudança aproximada ao valor de f(4) para obter a aproximação de f(3,98):
f(3,98) approx f(4) + De

Resposta

A raiz quadrada de 3,98 aproximadamente é 1,995.

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