Calcular aproximadamente, usando diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular aproximadamente a raiz quadrada de 3,98 usando diferenciais. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de diferenciais, uma técnica útil para fazer aproximações rápidas quando temos uma função que é fácil de calcular em um ponto próximo ao valor desejado. Vamos precisar da função raiz quadrada e entender como usar sua derivada para fazer a aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que estamos lidando. Aqui, queremos encontrar
, então nossa função é:
Passo 3
Agora, escolhemos um ponto próximo a 3,98 onde a raiz quadrada é fácil de calcular. O número 4 é uma ótima escolha porque
, que é simples de trabalhar.
Passo 4
Calculamos a derivada da função
, que nos dá a taxa de variação da função naquele ponto. A derivada de
é:
Passo 5
Vamos calcular a derivada no ponto escolhido, que é
:
Passo 6
Agora, determinamos a pequena mudança em
, que chamamos de
. Como queremos aproximar
, temos:
Passo 7
Usamos a fórmula do diferencial para encontrar a mudança aproximada em
, que é
:
Passo 8
Finalmente, somamos essa mudança aproximada ao valor de
para obter a aproximação de
:
Resposta
A raiz quadrada de 3,98 aproximadamente é 1,995.