Calcular aproximadamente, usando diferencial:
(2,0001)^5

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular aproximadamente (2,0001)^5 usando o conceito de diferencial. Aqui, estamos trabalhando com funções exponenciais e aplicando a ideia de diferenciais para fazer uma aproximação. Para resolver isso, vamos precisar entender como utilizar a fórmula dos diferenciais em funções de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando. Neste caso, a função é $ f(x) = x^{5} $. Queremos calcular $ f(2,0001) $, que é basicamente elevar f(x) = x^5 à quinta potência.

Passo 3

Como estamos usando diferenciais para fazer uma aproximação, vamos escolher um ponto próximo onde o cálculo é mais simples. Vamos chamar $ a = 2 $, que é próximo de a = 2 , e $ \Delta x = 0,0001 $, que é a pequena variação em 2,0001.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto $ a $:
a
Isso nos dá o valor exato da função no ponto escolhido.

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = x^{5} $. A derivada nos diz como a função está mudando em relação a f(x) = x^5 :
x
Agora, avaliamos a derivada no ponto $ a = 2 $:
f'(x) = 5x^4

Passo 6

Com a derivada, podemos usar a fórmula do diferencial para aproximar $ f(a + \Delta x) $:
f(a + De
Substituindo os valores que encontramos:
f(a + De

Passo 7

Vamos fazer a multiplicação:
80 times 0,0001 = 0,008
Então, adicionamos isso ao valor de $ f(a) $:
f(a)

Resposta

Aproximadamente, (2,0001)^5 approx 32,008.

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