Calcular aproximadamente, usando diferencial:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular aproximadamente
usando o conceito de diferencial. Aqui, estamos trabalhando com funções exponenciais e aplicando a ideia de diferenciais para fazer uma aproximação. Para resolver isso, vamos precisar entender como utilizar a fórmula dos diferenciais em funções de potência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando. Neste caso, a função é $ f(x) = x^{5} $. Queremos calcular $ f(2,0001) $, que é basicamente elevar
à quinta potência.
Passo 3
Como estamos usando diferenciais para fazer uma aproximação, vamos escolher um ponto próximo onde o cálculo é mais simples. Vamos chamar $ a = 2 $, que é próximo de
, e $ \Delta x = 0,0001 $, que é a pequena variação em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função no ponto $ a $:
Isso nos dá o valor exato da função no ponto escolhido.
Passo 5
Em seguida, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) = x^{5} $. A derivada nos diz como a função está mudando em relação a
:
Agora, avaliamos a derivada no ponto $ a = 2 $:
Passo 6
Com a derivada, podemos usar a fórmula do diferencial para aproximar $ f(a + \Delta x) $:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos fazer a multiplicação:
Então, adicionamos isso ao valor de $ f(a) $:
Resposta
Aproximadamente,
.