Calcular a área do conjunto R de todos (x, y) tais que \ln x \leq y \leq 1+\ln x, y \geq 0 e x \leq e.

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto
R = \{(x,y)\mid \ln x \le y \le 1+\ln x,\;y\ge 0,\;x\le e\}.
O conteúdo é cálculo de área via integração. Vamos identificar o intervalo de x em que a região existe e usar integrais simples da diferença das curvas de contorno.

Passo 2

Para que o intervalo [\ln x,\,1+\ln x] em y não seja vazio e respeite y\ge0, é preciso 1+\ln x\ge0, isto é \ln x\ge -1 ou x\ge e^{-1}. Como também x\le e, temos
x\in [e^{-1},\,e].
Além disso o limite inferior de y é y=\max\{\ln x,0\}, e a troca ocorre em \ln x=0, ou seja x=1.

Passo 3

Dividimos em dois trechos de x:
Para x\in[e^{-1},1], como \ln x\le0, o intervalo em y vai de 0 a 1+\ln x.
\text{área}_1 = \int_{e^{-1}}^{1}\bigl[(1+\ln x)-0\bigr]\,dx.á
Para x\in[1,e], como \ln x\ge0, o intervalo em y vai de \ln x a 1+\ln x, cujo comprimento é 1:
\text{área}_2 = \int_{1}^{e}\bigl[(1+\ln x)-\ln x\bigr]\,dx = \int_{1}^{e}1\,dx.á

Passo 4

Calcular \text{área}_1á:
\int(1+\ln x)\,dx = \int 1\,dx + \int\ln x\,dx = x + (x\ln x - x) = x\ln x.
Logo
\text{área}_1 = \bigl[x\ln x\bigr]_{e^{-1}}^{1} = 1\cdot\ln 1 \;-\; e^{-1}\ln(e^{-1}) = 0 - e^{-1}(-1) = e^{-1}.á
Calcular \text{área}_2á:
\text{área}_2 = \int_{1}^{e}1\,dx = [x]_{1}^{e} = e-1.á

Passo 5

A área total é
\text{área}(R) = \text{área}_1 + \text{área}_2 = e^{-1} + (e-1) = e - 1 + e^{-1}.ááá

Resposta

A área do conjunto R é e - 1 + e^{-1}.

Exercícios relacionados