Calcular a área da região R limitada pela parábola y=6 x-x^{2}, o eixo x e a reta y=4 x-8.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pela parábola
y = 6x - x^2,
pelo eixo x (i.e.\ y=0) e pela reta
y = 4x - 8.
Para resolver, vamos primeiro achar os pontos de interseção dessas curvas, depois identificar em quais subintervalos cada curva é fronteira superior ou inferior, e finalmente montar integrais para obter a área.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção:
– Parabola e eixo x:
6x - x^2 = 0 \implies x(6 - x)=0 \implies x=0,6.
– Reta e eixo x:
4x - 8 = 0 \implies x=2.
– Parábola e reta:
6x - x^2 = 4x - 8 \;\Longrightarrow\;-x^2 +2x +8 =0 \;\Longrightarrow\;x^2 -2x -8=0 \;\Longrightarrow\;x=4\text{ ou }x=-2.
Como o ponto x=-2 fica abaixo do eixo x, a interseção relevante acima do eixo é em x=4.

Passo 3

Para visualizar a região R, note que:
  • No trecho 0\le x\le2:
    a parábola y=6x-x^2 está acima do eixo x e a reta ainda está abaixo do eixo,
    logo a fronteira superior é a parábola e a inferior é o eixo.
  • No trecho 2\le x\le4:
    a parábola está acima da reta (ambas acima do eixo),
    então a fronteira superior é a parábola e a inferior é a reta.
Assim a área de R é
A = \int_{0}^{2}\bigl[(6x - x^2)-0\bigr]\,dx \;+\; \int_{2}^{4}\bigl[(6x - x^2)-(4x - 8)\bigr]\,dx.

Passo 4

Calcular as duas integrais:
\int_{0}^{2}(6x - x^2)\,dx = \Bigl[3x^2 - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(3\cdot4 - \tfrac{8}{3}\bigr) - 0 = 12 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{28}{3}.
\int_{2}^{4}\bigl((6x - x^2)-(4x - 8)\bigr)\,dx = \int_{2}^{4}(2x - x^2 + 8)\,dx = \Bigl[-\tfrac{x^3}{3} + x^2 + 8x\Bigr]_{2}^{4} = \bigl(\tfrac{80}{3}\bigr) - \bigl(\tfrac{52}{3}\bigr) = \tfrac{28}{3}.
Somando as duas partes:
A = \tfrac{28}{3} + \tfrac{28}{3} = \tfrac{56}{3}.

Resposta

A área da região R é \displaystyle \tfrac{56}{3}.

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