Calcular a área da região R limitada pela parábola
, o eixo
e a reta
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
limitada pela parábola
pelo eixo
(i.e.\
) e pela reta
Para resolver, vamos primeiro achar os pontos de interseção dessas curvas, depois identificar em quais subintervalos cada curva é fronteira superior ou inferior, e finalmente montar integrais para obter a área.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção:
– Parabola e eixo
:
– Reta e eixo
:
– Parábola e reta:
Como o ponto
fica abaixo do eixo
, a interseção relevante acima do eixo é em
.
Passo 3
Para visualizar a região
, note que:
-
No trecho
:
a parábolaestá acima do eixo e a reta ainda está abaixo do eixo,
logo a fronteira superior é a parábola e a inferior é o eixo. -
No trecho
:
a parábola está acima da reta (ambas acima do eixo),
então a fronteira superior é a parábola e a inferior é a reta.
Assim a área de
é
Passo 4
Calcular as duas integrais:
Somando as duas partes:
Resposta
A área da região
é
.