Calcular a área da superficie do cone gerado pela revolução do segmento de reta y=4 x, 0 <= x <= 2, em torno do eixo dos y.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a área da superfície de um cone que é formado quando a reta y = 4x para 0 <= x <= 2 gira em torno do eixo dos y . Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente a fórmula de áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar a reta y = 4x em torno do eixo dos y . Isso vai formar um cone, onde a reta representa a geração do cone a partir da rotação.

Passo 3

A fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva y = f(x) em torno do eixo dos y é dada por:
A = 2pi integrala^b x raiz1 + ( dxdy )^2 , dy
Mas, como temos y em função de x , vamos reescrever a curva para x em função de y . A equação y = 4x pode ser rearranjada para:
x = y4

Passo 4

Vamos derivar x em relação a y :
dxdy = 14
Agora, substituímos na fórmula da área:
A = 2pi integralymin^ymax x raiz1 + ( dxdy )^2 , dy

Passo 5

Determinar os limites de integração. Sabemos que x varia de 0 a 2, então:
ymin = 4 times 0 = 0
ymax = 4 times 2 = 8

Passo 6

Substituímos x = y4 e dxdy = 14 na fórmula da área:
A = 2pi integral0^8 ( y4 ) raiz1 + ( 14 )^2 , dy

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz1 + ( 14 )^2 = raiz1 + 116 = raiz1716 = raiz174
Então, a integral fica:
A = 2pi times raiz174 integral0^8 y4 , dy

Passo 8

Simplificamos os constantes fora da integral:
A = 2pi raiz1716 integral0^8 y , dy = pi raiz178 integral0^8 y , dy

Passo 9

Calculamos a integral:
integral0^8 y , dy = [ y^22 ]0^8 = 8^22 - 0^22 = 642 = 32

Passo 10

Substituímos o valor da integral de volta na expressão da área:
A = pi raiz178 times 32 = pi raiz17 times 328 = 4pi raiz17

Resposta

A área da superfície do cone é 4pi raiz17 unidades quadradas.

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