Calcular a área da superficie do cone gerado pela revolução do segmento de reta
, em torno do eixo dos
.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a área da superfície de um cone que é formado quando a reta
para
gira em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo, especificamente a fórmula de áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar a reta
em torno do eixo dos
. Isso vai formar um cone, onde a reta representa a geração do cone a partir da rotação.
Passo 3
A fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva
em torno do eixo dos
é dada por:
Mas, como temos
em função de
, vamos reescrever a curva para
em função de
. A equação
pode ser rearranjada para:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 5
Determinar os limites de integração. Sabemos que
varia de 0 a 2, então:
Passo 6
Substituímos
e
na fórmula da área:
Passo 7
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 8
Simplificamos os constantes fora da integral:
Passo 9
Calculamos a integral:
Passo 10
Substituímos o valor da integral de volta na expressão da área:
Resposta
A área da superfície do cone é
unidades quadradas.