Calcular a área do triângulo de vértices A (-1 0 2) B (-4 1 1) C (0 1 3)

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a área de um triângulo que está no espaço tridimensional, com os vértices nos pontos A (-1, 0, 2), B (-4, 1, 1) e C (0, 1, 3). Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos definir dois vetores que formam o triângulo. Vamos criar os vetores a partir do ponto A até os pontos B e C. Esses vetores serão chamados de AB e AC.

Passo 3

Vamos calcular as componentes dos vetores AB e AC. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B e C, respectivamente.
AB = B - A = (-4 - (-1), 1 - 0, 1 - 2) = (-3, 1, -1)
AC = C - A = (0 - (-1), 1 - 0, 3 - 2) = (1, 1, 1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o produto vetorial de AB e AC. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular ao plano formado por AB e AC, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por esses vetores.
AB times AC = i & j & k -3 & 1 & -1 1 & 1 & 1 = i cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1) - j cdot (-3 cdot 1 - (-1) cdot 1) + k cdot (-3 cdot 1 - 1 cdot 1)
= i cdot (1 + 1) - j cdot (-3 + 1) + k cdot (-3 -1) = 2i + 2j -4k
Então, AB times AC = (2, 2, -4)

Passo 5

Vamos agora calcular a magnitude desse vetor resultante, que é dada por:
|AB times AC| = raiz2^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz4 + 4 + 16 = raiz24 = 2raiz6

Passo 6

A área do paralelogramo formado por AB e AC é igual à magnitude do produto vetorial, ou seja, 2raiz6. Como queremos a área do triângulo, que é metade da área do paralelogramo, aplicamos:
Área do triângulo = 12 times 2raiz6 = raiz6 Áâ

Resposta

A área do triângulo ABC é raiz6 unidades de área.

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