Calcular a área e o volume de um prisma hexagonal regular de altura 5 \sqrt{3} \mathrm{~cm} e perímetro da base 24 cm .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área e o volume de um prisma hexagonal regular. As informações fornecidas são:
  • A altura do prisma é 5\sqrt{3}\\ \text{cm}.
  • O perímetro da base é 24\\ \text{cm}.
  • A base é um hexágono regular (ou seja, todos os lados iguais).
    As perguntas que vou responder: calcular a área (interpreto aqui como a área superficial total do prisma) e calcular o volume do prisma.

Passo 2

Determinar o lado do hexágono a partir do perímetro (informação dada). Como o hexágono é regular, ele tem 6 lados iguais. Então o comprimento do lado s é
s=\frac{\text{perímetro}}{6}=\frac{24}{6}=4\\ \text{cm}.í
Comentário amigável: isso é só dividir o perímetro pelos 6 lados — simples e necessário antes de achar a área da base.

Passo 3

Calcular a área da base (hexágono regular) explicando a fórmula. Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, cada um com lado s. A área de um triângulo equilátero de lado s é
\text{área do triângulo}=\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}.áâ
Explicação curta do porquê: pode-se usar a fórmula geral da área \tfrac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}; numa divisão do triângulo equilátero, a altura vale \tfrac{\sqrt{3}}{2}s, daí \tfrac{1}{2}\cdot s\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}s=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^{2}.
Como há 6 desses triângulos no hexágono, a área da base A_b é
A_b=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}s^{2}.
Substituindo s=4\\ \text{cm}:
A_b=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 16=24\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}.

Passo 4

Calcular a área lateral do prisma e explicar a fórmula. A área lateral A_{\text{lat}} de um prisma reto é a área do retângulo que envolve as faces laterais, dada por
A_{\text{lat}}=\text{perímetro da base}\times\text{altura} = P\cdot h.í
Aqui P=24\\ \text{cm} (dado) e h=5\sqrt{3}\\ \text{cm} (dado). Então
A_{\text{lat}}=24\cdot 5\sqrt{3}=120\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}.
Comentário: pense nas faces laterais “desenroladas” formando um retângulo de base igual ao perímetro da base e altura igual à altura do prisma.

Passo 5

Calcular a área superficial total do prisma. A área total A_{\text{total}} é a soma da área lateral com as duas bases:
A_{\text{total}}=A_{\text{lat}}+2A_{b}.
Substituindo os valores encontrados:
A_{\text{total}}=120\sqrt{3}+2\cdot 24\sqrt{3}=120\sqrt{3}+48\sqrt{3}=168\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}.

Passo 6

Calcular o volume do prisma e explicar a fórmula. O volume V de um prisma reto é a área da base vezes a altura:
V=A_{b}\cdot h.
Usando A_{b}=24\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2} e h=5\sqrt{3}\\ \text{cm}:
V=24\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}=24\cdot 5\cdot(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3})=120\cdot 3=360\\ \text{cm}^{3}.
Comentário: as raízes se multiplicam formando 3, por isso o volume saiu inteiro — bom sinal!

Resposta

Área total: 168\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}
Volume: 360\\ \text{cm}^{3}

Exercícios relacionados