Calcular a área e o volume de um prisma hexagonal regular de altura
e perímetro da base 24 cm .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área e o volume de um prisma hexagonal regular. As informações fornecidas são:
- A altura do prisma é
. - O perímetro da base é
. - A base é um hexágono regular (ou seja, todos os lados iguais).
As perguntas que vou responder: calcular a área (interpreto aqui como a área superficial total do prisma) e calcular o volume do prisma.
Passo 2
Determinar o lado do hexágono a partir do perímetro (informação dada). Como o hexágono é regular, ele tem 6 lados iguais. Então o comprimento do lado
é
Comentário amigável: isso é só dividir o perímetro pelos 6 lados — simples e necessário antes de achar a área da base.
Passo 3
Calcular a área da base (hexágono regular) explicando a fórmula. Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, cada um com lado
. A área de um triângulo equilátero de lado
é
Explicação curta do porquê: pode-se usar a fórmula geral da área
; numa divisão do triângulo equilátero, a altura vale
, daí
.
Como há 6 desses triângulos no hexágono, a área da base
é
Substituindo
:
Passo 4
Calcular a área lateral do prisma e explicar a fórmula. A área lateral
de um prisma reto é a área do retângulo que envolve as faces laterais, dada por
Aqui
(dado) e
(dado). Então
Comentário: pense nas faces laterais “desenroladas” formando um retângulo de base igual ao perímetro da base e altura igual à altura do prisma.
Passo 5
Calcular a área superficial total do prisma. A área total
é a soma da área lateral com as duas bases:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Calcular o volume do prisma e explicar a fórmula. O volume
de um prisma reto é a área da base vezes a altura:
Usando
e
:
Comentário: as raízes se multiplicam formando
, por isso o volume saiu inteiro — bom sinal!
Resposta
Área total:
Volume:
Volume: