Calcular a área lateral, total e o volume de um prisma quadrangular regular, sabendo que o perímetro da base mede 20 cm e que a aresta lateral é o triplo da aresta da base.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Dado: o perímetro da base do prisma mede 20\\ \text{cm}.
  • Dado: o prisma é quadrangular regular (ou seja, a base é um quadrado de lado igual).
  • Dado: a aresta lateral (altura do prisma) é o triplo da aresta da base.
  • Pedidos: calcular a área lateral, a área total e o volume do prisma.

Passo 2

Determinar a aresta da base (o lado do quadrado). Se a base é um quadrado com lado a, o perímetro da base é
P_{\text{base}} = 4a.
Como o enunciado diz que P_{\text{base}} = 20\\ \text{cm}, temos
4a = 20\\ \text{cm}\quad\Rightarrow\quad a = \frac{20\\ \text{cm}}{4} = 5\\ \text{cm}.
Explicação curta: o perímetro de um quadrado soma os quatro lados iguais; dividir por 4 dá o comprimento de um lado.

Passo 3

Determinar a aresta lateral (a altura h do prisma). O enunciado diz que a aresta lateral é o triplo da aresta da base, portanto
h = 3a = 3\cdot 5\\ \text{cm} = 15\\ \text{cm}.
Observação: em prismas retos a “aresta lateral” é a altura entre as bases; aqui assumimos o prisma reto clássico (aresta lateral = altura).

Passo 4

Entender e usar a fórmula da área lateral de um prisma reto. A área lateral A_L é a soma das áreas das faces laterais. Para um prisma com base de perímetro P_{\text{base}} e altura h, cada face lateral é um retângulo de base igual a um lado da base e altura h; somando as quatro faces:
A_L = P_{\text{base}}\cdot h.
Substituindo os valores que temos:
A_L = 20\\ \text{cm}\times 15\\ \text{cm} = 300\\ \text{cm}^2.
Comentário didático: pensar nas faces laterais “desenroladas” forma um retângulo de comprimento igual ao perímetro da base e altura igual à altura do prisma.

Passo 5

Calcular a área da base. Como a base é um quadrado de lado a, a área da base A_b é
A_b = a^2 = (5\\ \text{cm})^2 = 25\\ \text{cm}^2.
Lembrete: o prisma tem duas bases idênticas (superior e inferior).

Passo 6

Calcular a área total A_T. A área total é a soma da área lateral com as duas bases:
A_T = A_L + 2A_b.
Substituindo valores:
A_T = 300\\ \text{cm}^2 + 2\cdot 25\\ \text{cm}^2 = 300\\ \text{cm}^2 + 50\\ \text{cm}^2 = 350\\ \text{cm}^2.
Explicação: conta-se toda a superfície exterior do prisma — laterais mais as duas bases.

Passo 7

Calcular o volume V. O volume de um prisma é a área da base multiplicada pela altura:
V = A_b \cdot h.
Substituindo:
V = 25\\ \text{cm}^2 \times 15\\ \text{cm} = 375\\ \text{cm}^3.
Interpretação física simples: empilhando 25\\ \text{cm}^2 de “área” por 15\\ \text{cm} de altura obtém-se o volume.

Passo 8

Verificação rápida de unidades e coerência:
  • A_L e A_T estão em \text{cm}^2 (área) e V em \text{cm}^3 (volume).
  • Os valores são inteiros e coerentes com os comprimentos dados (lado 5\\ \text{cm}, altura 15\\ \text{cm}).
    Força aí — já está pronto para a prova!

Resposta

A_L = 300\\ \text{cm}^2
A_T = 350\\ \text{cm}^2
V = 375\\ \text{cm}^3

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