A altura de um prisma reto mede 15 cm e a base é um triângulo cujos os lados medem 20 \mathrm{~cm}, 30 \mathrm{~cm} e 40 cm . Calcular a área total do sólido.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informações fornecidas:
    • A altura do prisma reto é 15\\ \text{cm}.
    • A base do prisma é um triângulo cujos lados medem 20\\ \text{cm}, 30\\ \text{cm} e 40\\ \text{cm}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a área total do sólido (área total do prisma reto).

Passo 2

Plano de ataque (apenas para orientar — a resolução detalhada vem a seguir):
  • Para um prisma reto, a área total é a soma da área lateral com as áreas das duas bases: A_{\text{total}} = A_{\text{lateral}} + 2A_{\text{base}}.
  • A área lateral de um prisma reto é igual ao produto da altura do prisma pela perímetro da base: A_{\text{lateral}} = P_{\text{base}}\cdot h,porque cada face lateral é um retângulo de base igual a um lado do triângulo e altura igual a h; somando todas as faces dá h vezes a soma dos lados (o perímetro).
  • A área da base (triângulo) pode ser obtida com a fórmula de Heron, que funciona quando se conhecem os três lados do triângulo.

Passo 3

Explicando a fórmula de Heron (aula rápida e prática):
  • Se um triângulo tem lados a, b e c, define-se o semiperímetro s=\frac{a+b+c}{2}.
  • A área do triângulo é dada por A_{\text{base}}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
  • Aqui cada variável significa:
    • a,b,c: comprimentos dos lados do triângulo (em \text{cm}).
    • s: semiperímetro (em \text{cm}).
    • A_{\text{base}}: área da base (em \text{cm}^2).

Passo 4

Aplicando Heron aos lados a=20, b=30, c=40:
  • Calcula-se o semiperímetro: s=\frac{20+30+40}{2}=\frac{90}{2}=45\\ \text{cm}.
  • Substituindo na fórmula de Heron: A_{\text{base}}=\sqrt{45(45-20)(45-30)(45-40)} =\sqrt{45\cdot25\cdot15\cdot5}.
  • Vamos simplificar esse produto dentro da raiz para obter forma exata: 45\cdot25\cdot15\cdot5 = 84375.Observe que 84375=625\cdot135, porque 625=25^2.
    Então A_{\text{base}}=\sqrt{625\cdot135}=25\sqrt{135}.E como 135=9\cdot15, tem-se A_{\text{base}}=25\sqrt{9\cdot15}=25\cdot3\sqrt{15}=75\sqrt{15}\\ \text{cm}^2.

Passo 5

Perímetro da base e área lateral:
  • Perímetro do triângulo (soma dos lados): P_{\text{base}}=20+30+40=90\\ \text{cm}.
  • Altura do prisma h=15\\ \text{cm} (dada).
  • Área lateral: A_{\text{lateral}}=P_{\text{base}}\cdot h=90\cdot15=1350\\ \text{cm}^2.

Passo 6

Cálculo da área total do prisma:
  • Usando A_{\text{total}}=A_{\text{lateral}}+2A_{\text{base}}: A_{\text{total}}=1350 + 2\cdot(75\sqrt{15})=1350+150\sqrt{15}\\ \text{cm}^2.
  • Valor numérico aproximado: \sqrt{15}\approx3,87298, logo 150\sqrt{15}\approx150\cdot3,87298\approx580,95\\ \text{cm}^2,e portanto A_{\text{total}}\approx1350+580,95=1930,95\\ \text{cm}^2.(arredondado a duas casas decimais.)

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: deu trabalho, mas a receita é sempre a mesma para prismas retos — área lateral = perímetro da base × altura e área da base conforme o tipo da base (aqui Heron porque só conhecemos os lados). Ótimo trabalho em acompanhar passo a passo — agora dá pra fazer isso na prova sem susto!

Resposta

A_{\text{total}}=1350+150\sqrt{15}\\ \text{cm}^2 \approx 1930,95\\ \text{cm}^2

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