Calcular os autovalores e todos os autoespaços, das seguintes matrizes: A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0\end{array}\right) sobre \mathbb{Q}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular os autovalores (eigenvalues) e todos os autoespaços (espaces próprios / eigenspaces) da matriz sobre \mathbb{Q}. A matriz dada é
\begin{cases} x + 2z = 0,\\[4pt] 0 = 0,\\[4pt] 2x + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação x=-2z\]. Substituindo na terceira:
\[2(-2z)+z = -4z+z = -3z = 0 \implies z=0.\]
Então \(z=0 e x=-2\cdot 0=0. A variável y não aparece nas equações, é livre. Logo os vetores solução são
Da primeira equação -2x+2z=0 \implies x=z\]. A terceira é a mesma informação (consistente). Da segunda vem \(y=0. Assim as soluções são (x,0,z) com x=z, ou seja (t,0,t)=t(1,0,1). Logo
A primeira (e a terceira) dá 2x+2z=0\implies x=-z\]. Da segunda \(y=0. Assim as soluções são (-t,0,t)=t(-1,0,1) ou equivalentemente t(1,0,-1). Logo
E_{-2}=\operatorname{span}\{(1,0,-1)\}.]
Passo 8
Observação útil (para a prova): cada autovalor tem autoespaço de dimensão 1, e como existem três autovalores distintos temos três autovetores linearmente independentes. Isso implica que A é diagonalizável sobre \mathbb{Q} (embora a diagonalização não tenha sido pedida explicitamente, é uma consequência natural).