Calcular a carga térmica de aquecimento e de umidificação para elevar 500 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de ar a 10^{\circ} \mathrm{C} com umidade absoluta de 8 gr de vapor por cada kg de ar seco, para 20^{\circ} \mathrm{C} e 10 gr de vapor por cada kg de ar seco. Considerar o vapor de água saturado a 20^{\circ} \mathrm{C}.
Calcular os valores das propriedades psicrométricas do ar nos três pontos considerados.

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede (resumido e claro):
\quad - Vazão volumétrica de ar: \;500\\ \mathrm{m^{3}/h}.
\quad - Estado inicial (ponto 1): temperatura \;10^\circ\mathrm{C} e umidade absoluta \;8\\ \mathrm{g\\ de\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}.
\quad - Estado final desejado (ponto 2): temperatura \;20^\circ\mathrm{C} e umidade absoluta \;10\\ \mathrm{g\\ de\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}.
\quad - Ponto 3: vapor de água saturado a \;20^\circ\mathrm{C} (ou seja, condição de saturação a 20^\circ\mathrm{C}).
\quad - Pressão considerada: pressão atmosférica padrão \;p=101{,}325\\ \mathrm{kPa} (assumida para psicrometria).
O que pedir: calcular a carga térmica de aquecimento e a carga de umidificação que elevem o ar do ponto 1 ao ponto 2 para a vazão dada; e calcular as propriedades psicrométricas do ar nos três pontos (vamos fornecer: razão de mistura/umidade absoluta \,w, umidade relativa \varphi, entalpia específica do ar úmido h e volume específico v em cada ponto).

Passo 2

Conversões e decisões numéricas iniciais (explicando por que e como):
\quad - Convertemos a vazão volumétrica para \mathrm{m^{3}/s}:
\dot V = \frac{500}{3600} = 0{,}1388889\\ \mathrm{m^{3}/s}.
\quad - Convertendo as umidades absolutas de \mathrm{g/kg} para \mathrm{kg/kg} (variáveis usadas nas fórmulas):
w_1 = 8\\ \mathrm{g/kg} = 0{,}008\\ \mathrm{kg/kg},\qquad w_2 = 10\\ \mathrm{g/kg} = 0{,}010\\ \mathrm{kg/kg}.
Observação didática curta: a umidade absoluta w (às vezes chamada razão de mistura) é massa de vapor por massa de ar seco; por exemplo w=0{,}008 significa 8 gramas de vapor por kg de ar seco.

Passo 3

Fórmulas úteis (cada fórmula explicada):
\quad 1) Entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco (fórmula prática muito usada em psicrometria):
h = 1{,}005\;T + w\;(2501 + 1{,}86\;T)\quad\text{(kJ/kg de ar seco)},
onde T é a temperatura em ^\circ\mathrm{C}, 1{,}005\\ \mathrm{kJ/kgK} é o calor específico do ar seco e 2501\\ \mathrm{kJ/kg} é um valor típico para a entalpia de vaporização (a fórmula já incorpora a entalpia do vapor por (2501+1{,}86T)). Explicação: a entalpia do ar úmido é a soma da entalpia do ar seco mais a entalpia do vapor presente por kg de ar seco.
\quad 2) Pressão parcial do vapor p_v em função de w:
p_v = \frac{w\;p}{0{,}622 + w},
onde p é a pressão total (kPa) e 0{,}622 é a razão entre as constantes dos gases ( R_v/R_d ). Explicação: essa fórmula vem da relação entre razão de mistura e pressões parciais para mistura de gases.
\quad 3) Umidade relativa \varphi:
\varphi = \frac{p_v}{p_{sv}(T)}\quad(\text{adimensional, multiplicar por }100\% \text{ para porcentagem}),
onde p_{sv}(T) é a pressão de saturação do vapor à temperatura T.
\quad 4) Volume específico do ar úmido por kg de ar seco (fórmula prática):
v = 0{,}287042\;T_K\;\frac{1 + 1{,}607\,w}{p_{\text{kPa}}}\quad(\mathrm{m^{3}/kg\\ de\\ ar\\ seco}),
onde T_K é a temperatura em Kelvin e p_{\text{kPa}} é a pressão total em kPa. Explicação: é a versão prática da equação de gás ideal para ar úmido.
\quad 5) Vazão mássica de ar seco:
\dot m_{da}=\frac{\dot V}{v}\quad(\mathrm{kg/s}),
pois \dot V (m^3/s) dividido pelo volume específico (m^3/kg) dá kg/s de ar seco.
\quad 6) Carga térmica total necessária:
\dot Q_{\text{total}}=\dot m_{da}\,(h_2-h_1)\quad(\mathrm{kW}),
com h em kJ/kg e \dot m_{da} em kg/s (kJ/s = kW). Podemos decompor em parte sensível (aquecimento) e parte latente (umidificação): a parte sensível é o aquecimento do conjunto ar+vapor existente; a parte latente está associada à adição de massa de vapor (vaporização) para aumentar w.

Passo 4

Valores de pressão de saturação usados (tabelas/Magnus) — valores padrão adotados:
\quad - Pressão de saturação a 10^\circ\mathrm{C}: p_{sv}(10^\circ\mathrm{C}) = 1{,}228\\ \mathrm{kPa}.
\quad - Pressão de saturação a 20^\circ\mathrm{C}: p_{sv}(20^\circ\mathrm{C}) = 2{,}338\\ \mathrm{kPa}.
Esses valores são tabelados; uso deles é comum em provas.

Passo 5

Cálculo das pressões parciais do vapor e da umidade relativa nos pontos 1 e 2 (passo a passo numérico):
\quad Para w_1=0{,}008:
p_{v1}=\frac{0{,}008\cdot 101{,}325}{0{,}622+0{,}008} =\frac{0{,}8106}{0{,}630}=1{,}2869\\ \mathrm{kPa}.
\phi_1=\frac{p_{v1}}{p_{sv}(10^\circ\mathrm{C})}=\frac{1{,}2869}{1{,}228}=1{,}048\;=\;104{,}8\%.
Comentário importante e didático: \phi_1>100\% indica que, com a pressão e temperatura assumidas, a umidade absoluta 8\\ \mathrm{g/kg} é maior que a capacidade de saturação a 10^\circ\mathrm{C}. Na prática isso significaria condensação se o ar estivesse a 10^\circ\mathrm{C}; porém o enunciado fornece esses números, então seguimos os cálculos “algebricamente” e mostramos o resultado físico (RH > 100%) — isso será útil para interpretar se haveria condensado antes do processo.
\quad Para w_2=0{,}010:
p_{v2}=\frac{0{,}010\cdot 101{,}325}{0{,}622+0{,}010} =\frac{1{,}01325}{0{,}632}=1{,}6031\\ \mathrm{kPa}.
\phi_2=\frac{p_{v2}}{p_{sv}(20^\circ\mathrm{C})}=\frac{1{,}6031}{2{,}338}=0{,}6859\;=\;68{,}6\%.

Passo 6

Cálculo dos volumes específicos v nos três pontos (numérico detalhado):
Usamos a fórmula do passo 3 com T_K=T(^\circ\mathrm{C})+273{,}15.
\quad Ponto 1 ( T_1=10^\circ\mathrm{C}, w_1=0{,}008):
T_{1K}=283{,}15\\ \mathrm{K}.
v_1=0{,}287042\cdot 283{,}15\cdot\frac{1+1{,}607\cdot 0{,}008}{101{,}325} \approx 0{,}8124\\ \mathrm{m^{3}/kg\\ de\\ ar\\ seco}.
\quad Ponto 2 ( T_2=20^\circ\mathrm{C}, w_2=0{,}010):
T_{2K}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
v_2=0{,}287042\cdot 293{,}15\cdot\frac{1+1{,}607\cdot 0{,}010}{101{,}325} \approx 0{,}8437\\ \mathrm{m^{3}/kg\\ de\\ ar\\ seco}.
\quad Ponto 3 (saturado a 20^\circ\mathrm{C}, w_{sat,20}=0{,}01469\\ \mathrm{kg/kg} — calculado abaixo):
v_{sat20}=0{,}287042\cdot 293{,}15\cdot\frac{1+1{,}607\cdot 0{,}01469}{101{,}325} \approx 0{,}8501\\ \mathrm{m^{3}/kg\\ de\\ ar\\ seco}.

Passo 7

Cálculo da razão de mistura de saturação em 20^\circ\mathrm{C} (ponto 3) e confirmação:
w_{sat,20}=\frac{0{,}622\;p_{sv}(20^\circ\mathrm{C})}{p-p_{sv}(20^\circ\mathrm{C})} =\frac{0{,}622\cdot 2{,}338}{101{,}325-2{,}338} \approx 0{,}01469\\ \mathrm{kg/kg}=14{,}69\\ \mathrm{g/kg}.
Isto confirma o valor usado no passo 6.

Passo 8

Cálculo da vazão mássica de ar seco \dot m_{da} usando o volume específico do ponto 1 (é o estado de entrada do ar):
\dot m_{da}=\frac{\dot V}{v_1}=\frac{0{,}1388889}{0{,}8124}\approx 0{,}1710\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação: usamos o volume específico do ponto de entrada porque a vazão volumétrica dada refere-se ao ar que entra nesse estado; assim \dot m_{da} é a massa de ar seco que precisamos tratar por segundo.

Passo 9

Cálculo das entalpias específicas h nos pontos 1, 2 e saturado 20°C (usar a fórmula do passo 3, explicando cada termo):
\quad Ponto 1 ( T_1=10^\circ\mathrm{C}, w_1=0{,}008):
h_1 = 1{,}005\cdot 10 + 0{,}008\cdot(2501 + 1{,}86\cdot 10) =10{,}05 + 0{,}008\cdot 2519{,}6 =10{,}05 + 20{,}1568 =30{,}2068\\ \mathrm{kJ/kg}.
\quad Ponto 2 ( T_2=20^\circ\mathrm{C}, w_2=0{,}010):
h_2 = 1{,}005\cdot 20 + 0{,}010\cdot(2501 + 1{,}86\cdot 20) =20{,}10 + 0{,}01\cdot 2538{,}2 =20{,}10 + 25{,}382 =45{,}482\\ \mathrm{kJ/kg}.
\quad Ponto 3 (saturado a 20^\circ\mathrm{C}, w_{sat,20}=0{,}01469):
h_{sat20} = 1{,}005\cdot 20 + 0{,}01469\cdot(2501 + 1{,}86\cdot 20) \approx 20{,}10 + 0{,}01469\cdot 2538{,}2 \approx 20{,}10 + 37{,}271 \approx 57{,}371\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 10

Cálculo da massa de água a ser adicionada por unidade de tempo (umidificação) — explicando:
\quad A variação de razão de mistura por kg de ar seco é \Delta w = w_2 - w_1 = 0{,}002\\ \mathrm{kg/kg}.
\quad Taxa mássica de água a adicionar:
\dot m_w = \dot m_{da}\,\Delta w = 0{,}1710\cdot 0{,}002 = 0{,}0003420\\ \mathrm{kg/s}.
Convertendo para unidades mais familiares:
\dot m_w = 0{,}0003420\\ \mathrm{kg/s}\cdot 3600\\ \mathrm{s/h}\approx 1{,}231\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação: precisamos acrescentar cerca de 1{,}23\\ \mathrm{kg} de água por hora para a vazão de 500\\ \mathrm{m^3/h}.

Passo 11

Cálculo da carga térmica total e decomposição em aquecimento (sensible) e umidificação (latente) — passo a passo:
\quad Variação de entalpia por kg de ar seco:
\Delta h = h_2 - h_1 = 45{,}482 - 30{,}2068 = 15{,}2752\\ \mathrm{kJ/kg}.
\quad Carga térmica total:
\dot Q_{\text{total}} = \dot m_{da}\,\Delta h =0{,}1710\cdot 15{,}2752 \approx 2{,}613\\ \mathrm{kW}.
Esse é o calor total que deve ser fornecido ao sistema (inclui aquecimento do ar e a energia necessária para vaporizar a água adicionada e aquecer o vapor).
\quad Carga sensível (aquecimento do ar + aquecimento do vapor já existente) — método prático: usamos o calor específico médio do conjunto ar+vapor existente,
c_{p,\text{massa}} = 1{,}005 + \bar w\cdot 1{,}86,
onde \bar w=(w_1+w_2)/2 = 0{,}009 é a umidade média no processo (aproximação linear). Assim
c_{p,\text{massa}} = 1{,}005 + 0{,}009\cdot 1{,}86 = 1{,}02174\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
\dot Q_{\text{sensible}} = \dot m_{da}\,c_{p,\text{massa}}\,(T_2-T_1) =0{,}1710\cdot 1{,}02174\cdot 10 \approx 1{,}748\\ \mathrm{kW}.
\quad Carga latente (umidificação) = total − sensível:
\dot Q_{\text{latent}} = \dot Q_{\text{total}} - \dot Q_{\text{sensible}} \approx 2{,}613 - 1{,}748 = 0{,}865\\ \mathrm{kW}.
Verificação rápida física: \dot Q_{\text{latent}} deve ser aproximadamente \dot m_w multiplicado pela entalpia de vaporização (em torno de 2450\\ \mathrm{kJ/kg}), ou seja 0{,}0003420\cdot 2450\approx 0{,}838\\ \mathrm{kW}. Isso é próximo de 0{,}865\\ \mathrm{kW}; discrepância pequena vem do termo adicional (1{,}86 T) e do arredondamento — coerente.

Passo 12

Resumo numérico dos resultados psicrométricos calculados (valores finais prontos para consulta):
  • Ponto 1 (entrada): T_1=10^\circ\mathrm{C}, w_1=8\\ \mathrm{g/kg}=0{,}008\\ \mathrm{kg/kg}
    \phi_1=104{,}8\% (>100% → indica condição de condensação se realmente à 10^\circ\mathrm{C}),
    h_1=30{,}2068\\ \mathrm{kJ/kg}, v_1=0{,}8124\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Ponto 2 (saída desejada): T_2=20^\circ\mathrm{C}, w_2=10\\ \mathrm{g/kg}=0{,}010\\ \mathrm{kg/kg}
    \phi_2=68{,}6\%,
    h_2=45{,}482\\ \mathrm{kJ/kg}, v_2=0{,}8437\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Ponto 3 (saturado a 20^\circ\mathrm{C}): T=20^\circ\mathrm{C}, w_{sat}=14{,}69\\ \mathrm{g/kg}=0{,}01469\\ \mathrm{kg/kg}
    \phi_{sat}=100\%,
    h_{sat20}=57{,}371\\ \mathrm{kJ/kg}, v_{sat20}=0{,}8501\\ \mathrm{m^{3}/kg}.

Resposta

Carga térmica total necessária: \;2{,}61\\ \mathrm{kW}.
Composição: aquecimento sensível \;1{,}75\\ \mathrm{kW} (aprox.), umidificação (latente) \;0{,}87\\ \mathrm{kW} (aprox.).
Taxa de água a adicionar: \;0{,}000342\\ \mathrm{kg/s}\approx 1{,}23\\ \mathrm{kg/h}.
Ponto 1 (entrada): T_1=10^\circ\mathrm{C},\; w_1=8\\ \mathrm{g/kg},\; \phi_1=104{,}8\%,\; h_1=30{,}2068\\ \mathrm{kJ/kg},\; v_1=0{,}8124\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Ponto 2 (saída): T_2=20^\circ\mathrm{C},\; w_2=10\\ \mathrm{g/kg},\; \phi_2=68{,}6\%,\; h_2=45{,}482\\ \mathrm{kJ/kg},\; v_2=0{,}8437\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Ponto 3 (saturado a 20^\circ\mathrm{C}): T=20^\circ\mathrm{C},\; w_{sat}=14{,}69\\ \mathrm{g/kg},\; \varphi=100\%,\; h_{sat}=57{,}371\\ \mathrm{kJ/kg},\; v_{sat}=0{,}8501\\ \mathrm{m^{3}/kg}.

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