Pretende-se instalar um sistema de ar condicionado num local industrial que tem uma carga térmica total igual a 11.138 W, da qual 8.790 W é calor sensível. Pretende-se manter o local com uma temperatura de bulbo seco constante e igual a 29,4^{\circ} \mathrm{C} e com uma umidade relativa igual a 40 \%.
Que valor da temperatura de ponto de orvalho do aparelho será necessária?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Carga térmica total: \;11138\\ \mathrm{W}.
    • Calor sensível: \;8790\\ \mathrm{W}.
    • Temperatura de bulbo seco do local: \;29{,}4^\circ\mathrm{C}.
    • Umidade relativa do local: \;40\%.
  • Do enunciado se deduz:
    • Carga latente (vapor condensado) é a diferença entre carga total e sensível: Q_{\text{lat}} = 11138 - 8790 = 2348\\ \mathrm{W}.
  • O que se pede:
    • A temperatura de ponto de orvalho do aparelho necessária — aqui interpretamos como a temperatura da superfície do aparelho (temperatura do ar depois de passar pelo aparelho, que fica saturado nessa temperatura), isto é, a temperatura do ar na qual ocorre a condensação na serpentina (temperatura de bulbo de orvalho/temperatura de superfície do trocador), que vou chamar de \;T_c.
  • Observações/assunções implícitas que usarei:
    • Pressão atmosférica padrão: \;p = 101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
    • Usarei relações psicrométricas usuais (fórmula de Magnus para pressão de vapor de saturação e fórmula para razão de mistura w).
    • A água condensada no aparelho faz com que o ar que sai do aparelho esteja saturado à temperatura \;T_c (ou seja, \mathrm{RH}=100\% na saída do aparelho).

Passo 2

Plano de solução (sem cálculos ainda, só conceitos).
  • Vamos modelar a remoção de calor por massa de ar seco que circula:
    • A remoção sensível por unidade de massa de ar seco é \;c_{pa}\,(T_{\text{in}}-T_c), onde c_{pa} é o calor específico do ar seco (usarei \;c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) e T_{\text{in}}=29{,}4^\circ\mathrm{C}.
    • A remoção latente por unidade de massa de ar seco é \;h_{fg}(T_c)\,(w_{\text{in}}-w_s(T_c)), onde:
      • h_{fg}(T_c) é o calor latente de vaporização da água (kJ/kg) aproximado por \;h_{fg}(T)\approx 2501 - 2{,}37\,T (com T em °C),
      • w_{\text{in}} é a razão de mistura do ar no local (kg água/kg ar seco),
      • w_s(T_c) é a razão de mistura saturada à temperatura \;T_c.
  • Como queremos que as potências (sensível e latente) possuam a razão observada no enunciado, podemos escrever a equação de razão (latent/sensible) que elimina a vazão mássica de ar: \frac{Q_{\text{lat}}}{Q_{\text{sen}}} = \frac{h_{fg}(T_c)\,(w_{\text{in}}-w_s(T_c))} {c_{pa}\,(T_{\text{in}}-T_c)}.Aqui \;Q_{\text{lat}}=2348\\ \mathrm{W} e \;Q_{\text{sen}}=8790\\ \mathrm{W}, então o lado esquerdo é conhecido.
  • O objetivo: encontrar T_c que satisfaça a equação acima. Isso requer calcular w_{\text{in}} a partir de T_{\text{in}} e \mathrm{RH}, e calcular w_s(T_c) a partir de T_c. Faremos solução numérica (iterações simples) porque T_c aparece de forma não linear.

Passo 3

Fórmulas psicrométricas que usarei e explicação do que cada símbolo significa.
  • Pressão de vapor de saturação (fórmula de Magnus, em kPa): p_{vs}(T) = 0{,}61078\\ \exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right),onde T está em ^\circ\mathrm{C}. Essa fórmula dá a pressão de vapor quando o ar está saturado a T.
  • Pressão parcial de vapor no ambiente: p_v = \mathrm{RH}\cdot p_{vs}(T_{\text{in}}),onde \mathrm{RH} é a umidade relativa em fração (por exemplo, 0{,}40).
  • Razão de mistura (humidity ratio) w — massa de vapor por massa de ar seco: w = 0{,}622\;\frac{p_v}{p - p_v},onde p é a pressão atmosférica total (kPa). A constante 0{,}622 é a razão das massas molares M_{\mathrm{H_2O}}/M_{\text{ar}}.
  • Calor latente aproximado (kJ/kg): h_{fg}(T) \approx 2501 - 2{,}37\,T,com T em ^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do ar seco usado: c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Observação didática: todas estas expressões são muito usadas em problemas de refrigeração e ar condicionado. A ideia física: o aparelho reduz a temperatura do ar (sensível) e, se a superfície estiver abaixo do ponto de orvalho, também condensa vapor d’água (latente). A equação do passo anterior equilibra essas contribuições por unidade de massa de ar seco.

Passo 4

Calcular a razão Q_{\text{lat}}/Q_{\text{sen}} que é conhecida a partir dos dados.
  • Primeiro calculemos a razão: \frac{Q_{\text{lat}}}{Q_{\text{sen}}} = \frac{2348}{8790} \approx 0{,}26721.

Passo 5

Calcular w_{\text{in}} (razão de mistura do ar no local) a partir de T_{\text{in}}=29{,}4^\circ\mathrm{C} e \mathrm{RH}=40\%.
  • Calculamos a pressão de vapor de saturação a 29{,}4^\circ\mathrm{C} usando Magnus: p_{vs}(29{,}4) = 0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot29{,}4}{29{,}4+237{,}3}\right) \approx 4{,}099\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão parcial de vapor no ambiente: p_v = 0{,}40\cdot 4{,}099 \approx 1{,}6396\\ \mathrm{kPa}.
  • Razão de mistura do ar do ambiente: w_{\text{in}} = 0{,}622\;\frac{1{,}6396}{101{,}325 - 1{,}6396} \approx 0{,}01022\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}.(Expliquei: usei p=101{,}325\\ \mathrm{kPa} para a pressão atmosférica.)

Passo 6

Equação a resolver numericamente para T_c.
  • Reescrevendo a equação da razão com todas as quantidades conhecidas, queremos T_c tal que: f(T_c) \equiv \frac{h_{fg}(T_c)\,\bigl(w_{\text{in}}-w_s(T_c)\bigr)} {c_{pa}\,\bigl(T_{\text{in}}-T_c\bigr)} - 0{,}26721 = 0.
  • Onde w_s(T_c) = 0{,}622\;\frac{p_{vs}(T_c)}{p - p_{vs}(T_c)}.
  • Vou resolver por tentativa/iteração simples: testar valores de T_c (entre 0°C e T_{\text{in}}), calcular f(T_c) e ajustar até f(T_c)\approx 0.

Passo 7

Iterações numéricas (mostrando os principais testes, para você poder reproduzir na prova com algumas tentativas).
  • Teste T_c=10^\circ\mathrm{C}:
    • p_{vs}(10)\approx 1{,}228\\ \mathrm{kPa}, então w_s(10)\approx 0{,}007626.
    • h_{fg}(10)\approx 2501-2{,}37\cdot10=2477{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Razão calculada: \frac{2477{,}3\cdot(0{,}01022-0{,}007626)}{1{,}006\cdot(29{,}4-10)} \approx 0{,}3289.
    • Como 0{,}3289>0{,}2672, esse T_c gera demasiada condensação; precisamos de T_c maior (mais perto de 29{,}4^\circ\mathrm{C}).
  • Teste T_c=13^\circ\mathrm{C}:
    • p_{vs}(13)\approx 1{,}499\\ \mathrm{kPa}, w_s(13)\approx 0{,}00934.
    • h_{fg}(13)\approx 2470{,}19\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Razão: \frac{2470{,}19\cdot(0{,}01022-0{,}00934)}{1{,}006\cdot(29{,}4-13)} \approx 0{,}1317.
    • Agora 0{,}1317<0{,}2672, então T_c deve estar entre 10^\circ\mathrm{C} e 13^\circ\mathrm{C}.
  • Aproximação por busca linear (entre 10 e 13): testes intermediários mostram:
    • T_c=11{,}0^\circ\mathrm{C} dá razão \approx 0{,}2783 (ainda um pouco alta).
    • T_c=11{,}5^\circ\mathrm{C} dá razão \approx 0{,}2458 (um pouco baixa).
  • Fazendo uma interpolação/iteração rápida entre 11{,}0 e 11{,}5, chegamos a T_c próximo de 11{,}12^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Cálculo final detalhado no ponto aproximado encontrado para garantir precisão.
  • Para T_c \approx 11{,}12^\circ\mathrm{C}:
    • Calculei p_{vs}(11{,}12)\approx 1{,}3244\\ \mathrm{kPa}.
    • Assim w_s(11{,}12)\approx 0{,}008235.
    • h_{fg}(11{,}12)\approx 2501 - 2{,}37\cdot11{,}12 \approx 2474{,}646\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Então a razão sensível/latente dá: \frac{2474{,}646\cdot(0{,}01022-0{,}008235)}{1{,}006\cdot(29{,}4-11{,}12)} \approx 0{,}2671,que é muito próximo do valor desejado 0{,}26721. A diferença é desprezível para uso prático.

Passo 9

Interpretação física e checagem rápida.
  • O resultado \approx 11{,}12^\circ\mathrm{C} é menor que o ponto de orvalho do ar ambiente (que pode ser calculado a partir de p_v; com os dados dá \approx 14{,}4^\circ\mathrm{C}). Isso faz sentido: o aparelho precisa ser mais frio que 14{,}4^\circ\mathrm{C} para poder condensar vapor e remover a carga latente desejada. O valor encontrado está razoavelmente abaixo do ponto de orvalho, pois é necessário retirar uma fração significativa (cerca de 26{,}7\%) da carga como latente.

Resposta

11{,}12^\circ\mathrm{C}

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