Calcular a chuva máxima com tempo de retorno de 5 anos para a seguinte série de valores máximos diários
ano
Chuva Máxima de 1 dia
1989
63
1990
44
1991
75
1992
54
1993
61
1994
40
1995
35
1996
47
1997
55
1998
70
1999
68
2000
59
| ano |
|
||
| 1989 | 63 | ||
| 1990 | 44 | ||
| 1991 | 75 | ||
| 1992 | 54 | ||
| 1993 | 61 | ||
| 1994 | 40 | ||
| 1995 | 35 | ||
| 1996 | 47 | ||
| 1997 | 55 | ||
| 1998 | 70 | ||
| 1999 | 68 | ||
| 2000 | 59 |
Passo 1
O enunciado pede: calcular a chuva máxima com tempo de retorno de 5 anos a partir da série dos máximos diários anuais fornecida. Dados relevantes (peguei estes valores do enunciado):
- Anos: 1989 a 2000 (doze observações).
- Valores da chuva máxima de 1 dia em mm:
- Tempo de retorno pedido:
anos.
Passo 2
Decidir o método de estimativa. Há várias abordagens (ajuste a uma distribuição teórica como Gumbel, uso de postos de plotagem empíricos, etc.). Vou usar o método empírico simples com a fórmula de postos de plotagem de Weibull porque:
- O enunciado não exige um ajuste paramétrico específico.
- É o método mais básico e direto para obter a cota associada a um tempo de retorno quando se tem uma série anual de máximos.
- É adequado para provas quando se quer uma estimativa rápida sem ajustar parâmetros por máxima verossimilhança.
Vou explicar a teoria necessária para aplicar esse método passo a passo.
Passo 3
Conceitos e fórmulas que usaremos (aula rápida e prática).
- Dados ordenados em ordem crescente:
. Aqui é o número de anos/observações. - A fórmula de postos de plotagem de Weibull dá a probabilidade de não excedência aproximada para o
-ésimo menor valor: onde é a posição na ordem crescente (ou seja, para o menor valor). - O tempo de retorno
(anos) está relacionado à probabilidade de excedência anual por e a probabilidade de não excedência correspondente é - Para estimar o valor associado a
, encontramos e interpolamos entre os vizinhos nas observações ordenadas.
Vou aplicar tudo isso aos dados.
Passo 4
Ordenar os dados em ordem crescente e contar
.
- Série dada (peguei do enunciado):
- Ordenando em ordem crescente:
- Número de observações:
Passo 5
Calcular a probabilidade de não excedência associada ao tempo de retorno
.
- Probabilidade de excedência anual:
- Probabilidade de não excedência que queremos:
Passo 6
Calcular os postos de plotagem
para as posições próximas de
e identificar entre quais observações interpolar.
- Fórmula de Weibull:
- Valores relevantes:
- Observação:
está entre e . Portanto a cot a com anos fica entre e , ou seja entre mm e mm (peguei esses valores da ordenação do dado).
Passo 7
Interpolação linear entre
e
para obter o quantil correspondente a
.
- Fração de interpolação (quanto estamos entre
e ): Calcular numericamente:
- Agora interpolamos os valores
e : Substituindo e : Calcular:
Passo 8
Interpretação e comentário final (motivação e dica de prova).
- Resultado: a chuva máxima de 1 dia com tempo de retorno de
anos, estimada pelo método de postos de plotagem de Weibull com interpolação, é . - Dica rápida para prova: organize sempre os dados em ordem crescente, calcule
, encontre os dois postos de plotagem que cercam e faça interpolação linear. É um procedimento rápido e seguro quando não se pede ajuste a uma distribuição específica. - Força aí — isso é suficiente para uma questão típica de prova; se o professor pedir ajuste paramétrico (Gumbel, Log-Pearson III etc.), aí sim é preciso outro conjunto de passos para estimar parâmetros.