Calcular a chuva máxima com tempo de retorno de 5 anos para a seguinte série de valores máximos diários
ano
Chuva Máxima de 1 dia
(\mathrm{mm})
1989 63
1990 44
1991 75
1992 54
1993 61
1994 40
1995 35
1996 47
1997 55
1998 70
1999 68
2000 59

Passo 1

O enunciado pede: calcular a chuva máxima com tempo de retorno de 5 anos a partir da série dos máximos diários anuais fornecida. Dados relevantes (peguei estes valores do enunciado):
  • Anos: 1989 a 2000 (doze observações).
  • Valores da chuva máxima de 1 dia em mm: 63,\;44,\;75,\;54,\;61,\;40,\;35,\;47,\;55,\;70,\;68,\;59.
  • Tempo de retorno pedido: T=5 anos.

Passo 2

Decidir o método de estimativa. Há várias abordagens (ajuste a uma distribuição teórica como Gumbel, uso de postos de plotagem empíricos, etc.). Vou usar o método empírico simples com a fórmula de postos de plotagem de Weibull porque:
  • O enunciado não exige um ajuste paramétrico específico.
  • É o método mais básico e direto para obter a cota associada a um tempo de retorno quando se tem uma série anual de máximos.
  • É adequado para provas quando se quer uma estimativa rápida sem ajustar parâmetros por máxima verossimilhança.
Vou explicar a teoria necessária para aplicar esse método passo a passo.

Passo 3

Conceitos e fórmulas que usaremos (aula rápida e prática).
  • Dados ordenados em ordem crescente: x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(n)}. Aqui n é o número de anos/observações.
  • A fórmula de postos de plotagem de Weibull dá a probabilidade de não excedência aproximada para o m-ésimo menor valor: p_m=\frac{m}{n+1},onde m é a posição na ordem crescente (ou seja, m=1 para o menor valor).
  • O tempo de retorno T (anos) está relacionado à probabilidade de excedência anual q por q=\frac{1}{T},e a probabilidade de não excedência correspondente é p=1-q=1-\frac{1}{T}.
  • Para estimar o valor associado a T, encontramos p e interpolamos entre os p_m vizinhos nas observações ordenadas.
Vou aplicar tudo isso aos dados.

Passo 4

Ordenar os dados em ordem crescente e contar n.
  • Série dada (peguei do enunciado): 63,\;44,\;75,\;54,\;61,\;40,\;35,\;47,\;55,\;70,\;68,\;59.
  • Ordenando em ordem crescente: x_{(1)}=35,\;x_{(2)}=40,\;x_{(3)}=44,\;x_{(4)}=47,\;x_{(5)}=54,\;x_{(6)}=55,
x_{(7)}=59,\;x_{(8)}=61,\;x_{(9)}=63,\;x_{(10)}=68,\;x_{(11)}=70,\;x_{(12)}=75.
  • Número de observações: n=12.

Passo 5

Calcular a probabilidade de não excedência associada ao tempo de retorno T=5.
  • Probabilidade de excedência anual: q=\frac{1}{T}=\frac{1}{5}=0,2.
  • Probabilidade de não excedência que queremos: p=1-q=1-\frac{1}{5}=0,8.

Passo 6

Calcular os postos de plotagem p_m para as posições próximas de p=0,8 e identificar entre quais observações interpolar.
  • Fórmula de Weibull: p_m=\frac{m}{n+1}=\frac{m}{13},\qquad m=1,\dots,12.
  • Valores relevantes: p_{10}=\frac{10}{13}\approx0,76923,\qquad p_{11}=\frac{11}{13}\approx0,84615.
  • Observação: p=0,8 está entre p_{10} e p_{11}. Portanto a cot a com T=5 anos fica entre x_{(10)} e x_{(11)}, ou seja entre 68 mm e 70 mm (peguei esses valores da ordenação do dado).

Passo 7

Interpolação linear entre x_{(10)} e x_{(11)} para obter o quantil correspondente a p=0,8.
  • Fração de interpolação (quanto estamos entre p_{10} e p_{11}): \lambda=\frac{p-p_{10}}{p_{11}-p_{10}}=\frac{0,8-\tfrac{10}{13}}{\tfrac{11}{13}-\tfrac{10}{13}}.Calcular numericamente: p_{10}=\tfrac{10}{13}\approx0,769230769,\qquad p_{11}=\tfrac{11}{13}\approx0,846153846,
\lambda=\frac{0,8-0,769230769}{0,076923077}\approx\frac{0,030769231}{0,076923077}=0,4.
  • Agora interpolamos os valores x_{(10)} e x_{(11)}: x_p=(1-\lambda)\,x_{(10)}+\lambda\,x_{(11)}.Substituindo x_{(10)}=68 e x_{(11)}=70: x_p=(1-0,4)\cdot68+0,4\cdot70=0,6\cdot68+0,4\cdot70.Calcular: 0,6\cdot68=40,8,\qquad 0,4\cdot70=28,
x_p=40,8+28=68,8\\ \text{mm}.

Passo 8

Interpretação e comentário final (motivação e dica de prova).
  • Resultado: a chuva máxima de 1 dia com tempo de retorno de T=5 anos, estimada pelo método de postos de plotagem de Weibull com interpolação, é 68,8\\ \text{mm}.
  • Dica rápida para prova: organize sempre os dados em ordem crescente, calcule p=1-1/T, encontre os dois postos de plotagem que cercam p e faça interpolação linear. É um procedimento rápido e seguro quando não se pede ajuste a uma distribuição específica.
  • Força aí — isso é suficiente para uma questão típica de prova; se o professor pedir ajuste paramétrico (Gumbel, Log-Pearson III etc.), aí sim é preciso outro conjunto de passos para estimar parâmetros.

Resposta

\,68,8\\ \text{mm}

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