Calcular o comprimento do arco de contato e o ângulo de contato quando se laminam chapas de espessura inicial h i = 5 mm, com passes de 12%, 15%, 45% e 50% (deformações logarítmicas), com rolos de diâmetros D = 300 mm

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento do arco de contato e o ângulo de contato para cada um dos quatro passes. Dados fornecidos:
h_i=5\\ \text{mm}
passes com deformações logarítmicas (true strains) \varepsilon_1=0{,}12,\\ \varepsilon_2=0{,}15,\\ \varepsilon_3=0{,}45,\\ \varepsilon_4=0{,}50 (essas somam sequencialmente para determinar a espessura antes/depois de cada passe) e rolos de diâmetro
D=300\\ \text{mm}.
Vou calcular, para cada passe, a espessura de saída do passe, a redução \Delta h, o comprimento do arco de contato L e o ângulo de contato \varphi (em radianos e convertido para graus). As respostas finais virão no campo \# Resposta.

Passo 2

Relação entre deformação logarítmica e espessuras: a deformação logarítmica (verdadeira) para um passe que reduz a espessura de h_{\text{in}} para h_{\text{out}} é
\varepsilon=\ln\!\left(\frac{h_{\text{in}}}{h_{\text{out}}}\right).
Isolando h_{\text{out}} obtemos a fórmula útil para calcular a espessura após um passe:
h_{\text{out}} = h_{\text{in}}\;e^{-\varepsilon}.
Aqui h_{\text{in}} e h_{\text{out}} são as espessuras antes e depois do passe (em mm) e \varepsilon é a deformação logarítmica (adimensional). Observação prática importante: para passes sequenciais as deformações verdadeiras somam, ou seja, a espessura após vários passes pode ser obtida por
h_{\text{final}}=h_i\;e^{-(\varepsilon_1+\varepsilon_2+\cdots)}.

Passo 3

Calcular as espessuras após cada passe (vou usar o fato de que as deformações somam para obter diretamente cada espessura a partir de h_i).
Para o passe 1 (total de deformação até aqui \varepsilon^{(1)}=0{,}12):
h_1 = h_i\,e^{-0{,}12}=5\,e^{-0{,}12}\approx 4{,}434603\\ \text{mm}.
Para o passe 2 (total \varepsilon^{(2)}=0{,}12+0{,}15=0{,}27):
h_2 = h_i\,e^{-0{,}27}=5\,e^{-0{,}27}\approx 3{,}816895\\ \text{mm}.
Para o passe 3 (total \varepsilon^{(3)}=0{,}27+0{,}45=0{,}72):
h_3 = h_i\,e^{-0{,}72}=5\,e^{-0{,}72}\approx 2{,}433761\\ \text{mm}.
Para o passe 4 (total \varepsilon^{(4)}=0{,}72+0{,}50=1{,}22):
h_4 = h_i\,e^{-1{,}22}=5\,e^{-1{,}22}\approx 1{,}475260\\ \text{mm}.
Esses valores são as espessuras de saída de cada passe. Vou usá-los para obter a redução em cada passe.

Passo 4

Calcular a redução em cada passe (diferença entre espessura de entrada e de saída do passe):
Para lembrar: a espessura de entrada do passe k é a saída do passe k-1; para o primeiro passe a entrada é h_i.
\Delta h_1 = h_i - h_1 = 5 - 4{,}434603 = 0{,}565397\\ \text{mm},
\Delta h_2 = h_1 - h_2 = 4{,}434603 - 3{,}816895 = 0{,}617708\\ \text{mm},
\Delta h_3 = h_2 - h_3 = 3{,}816895 - 2{,}433761 = 1{,}383134\\ \text{mm},
\Delta h_4 = h_3 - h_4 = 2{,}433761 - 1{,}475260 = 0{,}958502\\ \text{mm}.

Passo 5

Explicar e deduzir a fórmula do comprimento do arco de contato L. Geometricamente, a folga entre as superfícies dos rolos em função da coordenada lateral x pode ser aproximada por uma expansão em torno do centro; para pequenos ângulos usa-se a aproximação (desenvolvimento de Taylor) que leva à relação
h_{\text{in}}(x)\approx h_{\text{out}} + \frac{x^2}{R},
onde R é o raio do rolo e x mede a posição lateral a partir do centro da linha de contato. No ponto de entrada da chapa a abscissa é x=L/2 (metade do arco de contato) e aí h_{\text{in}}=h_{\text{out}}+\dfrac{(L/2)^2}{R}. Daí:
h_{\text{in}}-h_{\text{out}}=\frac{L^2}{4R}.
Isolando L obtemos a fórmula prática usada em laminação:
\boxed{L = 2\sqrt{R\,(h_{\text{in}}-h_{\text{out}})}.}
Explicação das variáveis: L é o comprimento total do arco de contato (mm), R é o raio do rolo (mm) e h_{\text{in}}-h_{\text{out}}=\Delta h é a redução de espessura no passe (mm). O ângulo de contato (ângulo central correspondente ao arco L) em radianos é
\varphi = \frac{L}{R},
e em graus:
\varphi_{\text{deg}} = \varphi\cdot\frac{180}{\pi}.

Passo 6

Aplicar as fórmulas numéricas. Primeiro o raio dos rolos:
R=\frac{D}{2}=\frac{300}{2}=150\\ \text{mm}.
Calcular L para cada passe usando L=2\sqrt{R\,\Delta h} e depois \varphi=L/R e \varphi_{\text{deg}}=\varphi\cdot 180/\pi.
Passe 1:
L_1=2\sqrt{150\cdot 0{,}565397}=2\sqrt{84{,}8096}\approx 18{,}418\\ \text{mm},
\varphi_1=\frac{18{,}418}{150}\approx 0{,}12279\\ \text{rad}\approx 7{,}04^\circ.
Passe 2:
L_2=2\sqrt{150\cdot 0{,}617708}=2\sqrt{92{,}6562}\approx 19{,}253\\ \text{mm},
\varphi_2=\frac{19{,}253}{150}\approx 0{,}12835\\ \text{rad}\approx 7{,}36^\circ.
Passe 3:
L_3=2\sqrt{150\cdot 1{,}383134}=2\sqrt{207{,}4701}\approx 28{,}797\\ \text{mm},
\varphi_3=\frac{28{,}797}{150}\approx 0{,}19198\\ \text{rad}\approx 11{,}00^\circ.
Passe 4:
L_4=2\sqrt{150\cdot 0{,}958502}=2\sqrt{143{,}7753}\approx 23{,}991\\ \text{mm},
\varphi_4=\frac{23{,}991}{150}\approx 0{,}15994\\ \text{rad}\approx 9{,}17^\circ.
Nota: arredondei os comprimentos para duas casas decimais e os ângulos para duas casas decimais em graus para facilitar leitura. Os valores em radianos também estão indicados.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: os comprimentos de contato são curtos (dezenas de mm) porque as reduções por passe não são enormes; perceba que um passe grande (como o terceiro, com grande redução) aumenta bastante o arco de contato e o ângulo de contato, o que influencia forças de laminação e necessidade de torque nos rolos. Vai dar certo — repassa esses passos na folha e na prova siga a mesma sequência: (1) converter deformações em espessuras, (2) calcular \Delta h, (3) aplicar L=2\sqrt{R\Delta h} e (4) obter \varphi=L/R.

Resposta

\text{Passe 1: } L_1 \approx 18{,}42\\ \text{mm},\\ \varphi_1 \approx 7{,}04^\circ.
\text{Passe 2: } L_2 \approx 19{,}25\\ \text{mm},\\ \varphi_2 \approx 7{,}36^\circ.
\text{Passe 3: } L_3 \approx 28{,}80\\ \text{mm},\\ \varphi_3 \approx 11{,}00^\circ.
\text{Passe 4: } L_4 \approx 23{,}99\\ \text{mm},\\ \varphi_4 \approx 9{,}17^\circ.

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