Uma tira de cobre recozido com largura de 228 mm e 25 mm de espessura é laminado para uma espessura de 20 mm em um único passe. O raio do laminador é 300 mm , e o rolo gira a 100 rpm .
Calcule a força e potência requerida na operação. Dado que a tensão de escoamento média em EPD nessa etapa é 180 MPa .

Passo 1

Vamos entender bem o que o enunciado dá e o que ele pede. Perguntas do problema: calcular a força necessária na laminação e a potência requerida. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
\begin{aligned} &\text{largura da tira: } b=228\\ \mathrm{mm} \\\ &\text{espessura inicial: } h_0=25\\ \mathrm{mm} \\\ &\text{espessura final: } h_f=20\\ \mathrm{mm} \\\ &\text{redução: } \Delta h = h_0-h_f \\\ &\text{raio do rolo: } R=300\\ \mathrm{mm} \\\ &\text{velocidade de rotação: } N=100\\ \mathrm{rpm} \\\ &\text{tensão de escoamento média (EPD) usada como tensão média de escoamento: } \bar{\sigma}=180\\ \mathrm{MPa}=180\\ \mathrm{N/mm^2} \end{aligned}çãçããéãé
Observação: o enunciado já deu a tensão média em EPD, então usaremos esse valor como a tensão média de escoamento no cálculo da força. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular a redução e lembrar unidades. A redução em espessura é
\Delta h = h_0 - h_f = 25 - 20 = 5\\ \mathrm{mm}.
Vou manter tudo em mm e N/mm^2 (MPa) para consistência (pois 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^2}).

Passo 3

Explicar o cálculo do comprimento de contato entre o rolo e a tira. Para laminação em único passe e pequenas reduções, usamos a aproximação do comprimento projetado de contato L dada por
L \approx 2\sqrt{R\,\Delta h}.
Breve aula: essa fórmula vem da aproximação geométrica para o ângulo de contato \alpha pequeno, em que \alpha\approx\sqrt{\Delta h/R} e a projeção do arco é L\approx 2R\alpha. Aqui R e \Delta h devem estar na mesma unidade (mm). Essa aproximação é muito usada em problemas de prova porque dá um valor simples e razoavelmente preciso para pequenas reduções.

Passo 4

Calcular numericamente L. Substituindo R=300\\ \mathrm{mm} e \Delta h=5\\ \mathrm{mm}:
L = 2\sqrt{300\cdot 5}=2\sqrt{1500}=2\cdot 38{,}729833\ldots=77{,}4596669\\ \mathrm{mm}.
Arredondando com sentido prático, L\approx 77{,}46\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Explicar a fórmula da força de laminação usada. No caso de uma tira larga (estado plano, deformação aproximadamente em EPD), uma aproximação usual pela metodologia das lâminas é tomar a força total de compressão (força de laminação) como
F = \bar{\sigma}\, b\, L,
onde \bar{\sigma} é a tensão média de escoamento (N/mm^2), b é a largura (mm) e L é o comprimento de contato projetado (mm). Aula rápida: isso vem da ideia de que a pressão média ao longo da zona de contato é aproximadamente igual à tensão de escoamento média e a força é pressão média vezes área de contato projetada b\cdot L.

Passo 6

Calcular numericamente a força F. Substituindo \bar{\sigma}=180\\ \mathrm{N/mm^2}, b=228\\ \mathrm{mm} e L\approx77{,}4596669\\ \mathrm{mm},
\begin{aligned} F &= 180\cdot 228\cdot 77{,}4596669 \\\ &= 3\,178\,944{,}73\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
Para apresentar de forma prática: F\approx 3{,}18\times 10^{6}\\ \mathrm{N} (ou 3179\\ \mathrm{kN}). Comentário motivador: já estamos perto — força muito grande porque é metal sendo deformado!

Passo 7

Calcular a velocidade periférica do rolo (velocidade linear na superfície). O rolo gira a N=100\\ \mathrm{rpm} e o raio é R=300\\ \mathrm{mm}. A velocidade periférica v em mm/s é
v = 2\pi\left(\frac{N}{60}\right)R.
Substituindo,
v = 2\pi\left(\frac{100}{60}\right)300 = 1000\pi\\ \mathrm{mm/s}=3141{,}5926536\\ \mathrm{mm/s}.
Em m/s: v=3{,}1415926536\\ \mathrm{m/s}. Aula curta: usamos \omega=2\pi N/60 (rad/s) e v=\omega R; é a velocidade que a superfície do rolo “puxa” a tira na zona neutra.

Passo 8

Explicar a fórmula da potência requerida. A potência teórica de deformação (potência mecânica requerida à máquina, sem perdas por atrito, aquecimento, etc.) pode ser aproximada por
P = F\cdot v,
onde F é a força de laminação (N) e v é a velocidade linear do material na zona de contato (m/s). Observação didática: em situações com grande diferença entre velocidades de entrada/saída seria preciso usar uma velocidade média ou integrar, mas para redução pequena e uso do valor na superfície do rolo essa aproximação é aceita em exercícios de prova.

Passo 9

Calcular numericamente a potência P. Usando F=3\,178\,944{,}73\\ \mathrm{N} e v=3{,}1415926536\\ \mathrm{m/s},
P = 3\,178\,944{,}73 \times 3{,}1415926536 \approx 9\,985\,192{,}05\\ \mathrm{W}.
Em unidades mais usuais: P\approx 9{,}99\times 10^{6}\\ \mathrm{W} ou aproximadamente 9985\\ \mathrm{kW} (cerca de 9{,}99\\ \mathrm{MW}). Lembre-se: este é o valor ideal sem perdas; na prática a potência requerida ao motor será maior devido a atrito, eficiência, etc.

Passo 10

Resumo final numérico e dicas rápidas para prova: mantenha consistência de unidades (mm com MPa = N/mm^2), use L\approx 2\sqrt{R\Delta h} para contato em redução pequena e força F=\bar{\sigma}bL. Se o enunciado fornecer a tensão de escoamento média, use-a diretamente como \bar{\sigma}. Agora a resposta final está abaixo.

Resposta

F = 3{,}18\times 10^{6}\\ \mathrm{N} (aprox. 3179\\ \mathrm{kN})
P = 9{,}99\times 10^{6}\\ \mathrm{W} (aprox. 9985\\ \mathrm{kW})

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