(2,0) Num show de rock, uma pessoa a 40 metros de uma caixa acústica ouve sons de nível sonoro 120 dB. Admitindo que a fonte é pontual e isotrópica (emite igualmente em todas as direções), determine: (a) a potência da caixa acústica. (b) Determine a distância que a pessoa deve ser estar da caixa acústica para que o nível sonoro caia 14 dB em relação a posição inicial. Dado: I_{o}=1,0 \times 10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: a pessoa está a 40\\ \mathrm{m} de uma caixa acústica e mede-se nível sonoro 120\\ \mathrm{dB} nessa posição.
  • Informação: a fonte é pontual e isotrópica (emite igualmente em todas as direções).
  • Informação: referência de intensidade sonora I_{0}=1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Pergunta (a): determinar a potência P da caixa acústica.
  • Pergunta (b): determinar a distância em que a pessoa deve estar para que o nível sonoro caia 14\\ \mathrm{dB} em relação à posição inicial.

Passo 2

Entendendo as grandezas e as fórmulas principais (aula rápida e prática):
  • Intensidade sonora I é a potência por unidade de área que chega ao ponto onde se mede o som. Para uma fonte pontual isotrópica, a energia se espalha uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio r, logo a intensidade a uma distância r da fonte é dada por
I=\frac{P}{4\pi r^{2}},
onde P é a potência da fonte (em \mathrm{W}), r a distância (em \mathrm{m}) e 4\pi r^{2} a área da esfera.
  • Nível sonoro L em decibéis (dB) relaciona-se com a intensidade I e a intensidade de referência I_{0} pela fórmula
L=10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right).
Aqui L é em \mathrm{dB}, I e I_{0} em \mathrm{W/m^{2}}. Explicando: multiplicar por 10 e usar \log_{10} transforma a razão de intensidades numa escala logarítmica (a orelha humana percebe intensidade de forma aproximadamente logarítmica).
Vou usar essas duas fórmulas para resolver (a) e (b). Vou também lembrar que \log_{10} e potências de 10 são inversos: se L=10\log_{10}(I/I_{0}) então I=I_{0}\,10^{L/10}.

Passo 3

Resolver (a): converter o nível 120\\ \mathrm{dB} em intensidade I no ponto r=40\\ \mathrm{m}.
Usando a relação entre nível e intensidade:
I=I_{0}\,10^{L/10}.
Substituindo I_{0}=1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}} e L=120\\ \mathrm{dB},
I=1{,}0\times10^{-12}\times10^{120/10}=1{,}0\times10^{-12}\times10^{12}.
Simplificando os expoentes,
I=1{,}0\times10^{0}=1{,}0\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação: no local a 40\\ \mathrm{m} a intensidade é 1\\ \mathrm{W/m^{2}} — parece muito, mas lembre-se que 120\\ \mathrm{dB} é extremante alto (show de rock).

Passo 4

Ainda (a): usar I=\dfrac{P}{4\pi r^{2}} para encontrar P.
Reescrevendo para P:
P=I\cdot 4\pi r^{2}.
Substituindo I=1{,}0\\ \mathrm{W/m^{2}} e r=40\\ \mathrm{m},
P=1{,}0\times4\pi\times(40)^{2}=4\pi\times1600=6400\pi\\ \mathrm{W}.
Fazendo a aproximação numérica (usar \pi\approx3{,}14159),
P\approx6400\times3{,}14159\approx2{,}01\times10^{4}\\ \mathrm{W}.
Comentário prático: P\approx2,01\cdot10^{4}\\ \mathrm{W} é a potência acústica radiada — potência elétrica do amplificador pode ser maior por perdas, mas aqui estamos calculando a potência sonora radiada idealizada.

Passo 5

Resolver (b): distância para que o nível caia 14\\ \mathrm{dB}.
Método direto via diferença de níveis (mais prático em prova):
Se L_{1} é o nível a r_{1}=40\\ \mathrm{m} e L_{2} o nível desejado, então a diferença
\Delta L=L_{2}-L_{1}=10\log_{10}\!\left(\frac{I_{2}}{I_{1}}\right).
Como I\propto 1/r^{2} (inv. do quadrado), temos \dfrac{I_{2}}{I_{1}}=\dfrac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}. Substituindo,
\Delta L=10\log_{10}\!\left(\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}\right)=20\log_{10}\!\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right).
Queremos que o nível caia 14\\ \mathrm{dB}, ou seja L_{2}=L_{1}-14 e \Delta L=-14\\ \mathrm{dB}. É mais simples usar a forma com L_{1}-L_{2}=14\\ \mathrm{dB}:
L_{1}-L_{2}=20\log_{10}\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right).
Portanto
\frac{r_{2}}{r_{1}}=10^{(L_{1}-L_{2})/20}=10^{14/20}=10^{0{,}7}.
Logo
r_{2}=r_{1}\,10^{0{,}7}.
Substituindo r_{1}=40\\ \mathrm{m},
r_{2}=40\times10^{0{,}7}.
Aproximando 10^{0{,}7}\approx5{,}01187,
r_{2}\approx40\times5{,}01187\approx200{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Checagem alternativa (opcional, para receber confiança): calcular as intensidades e usar a lei do inverso do quadrado.
  • Intensidade inicial I_{1}=1{,}0\\ \mathrm{W/m^{2}} (já obtida).
  • Intensidade final desejada (para L_{2}=106\\ \mathrm{dB}) é
I_{2}=I_{0}\,10^{L_{2}/10}=1{,}0\times10^{-12}\times10^{10{,}6}=10^{-1{,}4}\approx0{,}0398107\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Então \dfrac{I_{1}}{I_{2}}\approx\frac{1}{0{,}0398107}\approx25{,}1189 e
r_{2}=r_{1}\sqrt{\frac{I_{1}}{I_{2}}}=40\sqrt{25{,}1189}\approx40\times5{,}01187\approx200{,}5\\ \mathrm{m},
o mesmo resultado — ótima consistência.

Resposta

(a) P=6400\pi\\ \mathrm{W}\approx2{,}01\times10^{4}\\ \mathrm{W}\n(b) r\approx200{,}5\\ \mathrm{m}

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