Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede para calcular o comprimento de arco dessa curva no intervalo indicado. Informações relevantes: as funções paramétricas
e
estão definidas para todo
de
a
; queremos o comprimento do traçado quando
varia nesse intervalo.
Passo 2
A fórmula geral para o comprimento de arco de uma curva dada parametricamente por
com
é
Explicando essa fórmula de maneira simples: pense em dividir o intervalo
em muitos pedaços pequenos. Em cada pedaço
muda de
para
, então o ponto na curva se desloca aproximadamente de
para
. O comprimento desse pequeno segmento é aproximadamente
. Dividindo por
e usando limites obtém-se a raiz da soma dos quadrados das derivadas, que é a velocidade (magnitude do vetor velocidade). Por isso integramos a velocidade para obter o comprimento total.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas
e
. Relembre as derivadas das funções trigonométricas básicas: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto,
Aqui
é a taxa de variação horizontal por unidade de
e
é a taxa de variação vertical por unidade de
.
Passo 4
Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento. Primeiro calculemos o quadrado da velocidade:
Use a identidade trigonométrica fundamental, que diz que para todo
Essa identidade vem diretamente do círculo trigonométrico: as coordenadas
estão em um círculo de raio
, então
.
Passo 5
Como a soma dos quadrados é
, a raiz quadrada é
Logo o comprimento é a integral de
de
a
:
Passo 6
Calcule a integral de uma constante: a integral de
é
. Avaliando entre os limites,
Interpretação física/geométrica: o resultado
é a circunferência de um círculo de raio
, ou seja, faz sentido — a curva
percorre exatamente o círculo unitário uma vez quando
vai de
a
.
Passo 7
Para te deixar mais confiante: se a curva fosse
com raio
, o mesmo procedimento dá
, então
, e
ou seja, a fórmula usual da circunferência. Isso ajuda a memorizar o método.