Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
x=\cos t, y=\operatorname{sen} t ; 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=\cos t,\quad y=\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi,
e pede para calcular o comprimento de arco dessa curva no intervalo indicado. Informações relevantes: as funções paramétricas x(t) e y(t) estão definidas para todo t de 0 a 2\pi; queremos o comprimento do traçado quando t varia nesse intervalo.

Passo 2

A fórmula geral para o comprimento de arco de uma curva dada parametricamente por \,x=x(t),\;y=y(t)\, com t\in[a,b] é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.
Explicando essa fórmula de maneira simples: pense em dividir o intervalo [a,b] em muitos pedaços pequenos. Em cada pedaço t muda de t para t+\Delta t, então o ponto na curva se desloca aproximadamente de (x,y) para (x+\Delta x,y+\Delta y). O comprimento desse pequeno segmento é aproximadamente \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}. Dividindo por \Delta t e usando limites obtém-se a raiz da soma dos quadrados das derivadas, que é a velocidade (magnitude do vetor velocidade). Por isso integramos a velocidade para obter o comprimento total.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Relembre as derivadas das funções trigonométricas básicas: a derivada de \cos t é -\sin t e a derivada de \sin t é \cos t. Portanto,
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)=-\sin t, \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t.
Aqui \frac{dx}{dt} é a taxa de variação horizontal por unidade de t e \frac{dy}{dt} é a taxa de variação vertical por unidade de t.

Passo 4

Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento. Primeiro calculemos o quadrado da velocidade:
\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}=(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}=\sin^{2}t+\cos^{2}t.
Use a identidade trigonométrica fundamental, que diz que para todo t
\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Essa identidade vem diretamente do círculo trigonométrico: as coordenadas (\cos t,\sin t) estão em um círculo de raio 1, então \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 5

Como a soma dos quadrados é 1, a raiz quadrada é
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}=\sqrt{1}=1.
Logo o comprimento é a integral de 1 de 0 a 2\pi:
L=\int_{0}^{2\pi} 1\,dt.

Passo 6

Calcule a integral de uma constante: a integral de 1 é t. Avaliando entre os limites,
L=\Bigl[t\Bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi-0=2\pi.
Interpretação física/geométrica: o resultado 2\pi é a circunferência de um círculo de raio 1, ou seja, faz sentido — a curva (\cos t,\sin t) percorre exatamente o círculo unitário uma vez quando t vai de 0 a 2\pi.

Passo 7

Para te deixar mais confiante: se a curva fosse \,x=R\cos t,\;y=R\sin t com raio R>0, o mesmo procedimento dá \frac{dx}{dt}=-R\sin t,\;\frac{dy}{dt}=R\cos t, então \sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}=\sqrt{R^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}=R, e
L=\int_{0}^{2\pi} R\,dt = 2\pi R,
ou seja, a fórmula usual da circunferência. Isso ajuda a memorizar o método.

Resposta

2\pi

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