Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
x=e^{t}+e^{-t}, y=5-2 t ; 0 \leq t \leq 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica dada por
x = e^{t} + e^{-t},\qquad y = 5 - 2t,\qquad 0 \le t \le 3.
Informações fornecidas:
x(t)=e^{t}+e^{-t},\quad y(t)=5-2t,\quad \text{intervalo } t\in[0,3].
Pergunta: calcular o comprimento de arco da curva no intervalo 0\le t\le 3.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): se uma curva é dada parametricamente por x=x(t) e y=y(t) em t\in[a,b], então o comprimento de arco L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Por que isso? Pense em dividir o intervalo em pedaços pequenos \Delta t. Em cada pedaço, a curva se aproxima de um segmento de reta com comprimentos aproximados por
\Delta s\approx\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;\Delta t.
Somando e levando o número de pedaços ao infinito dá a integral acima. Aqui x'(t) é a derivada de x em relação a t e y'(t) a derivada de y em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas (mostrando passo a passo as regras básicas):
  • Derivada de e^{t} é e^{t}.
  • Derivada de e^{-t} é -e^{-t} (regra da cadeia: multiplicar pela derivada do expoente -t, que é -1).
    Portanto
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr)=e^{t}-e^{-t}.
Para y:
y'(t)=\frac{d}{dt}(5-2t)=-2.

Passo 4

Montar o integrando da fórmula do comprimento:
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}=\sqrt{(e^{t}-e^{-t})^{2}+(-2)^{2}}.
Expandindo o quadrado:
(e^{t}-e^{-t})^{2}=e^{2t}-2+e^{-2t}.
Somando 4 (que é (-2)^{2}):
e^{2t}-2+e^{-2t}+4=e^{2t}+e^{-2t}+2.

Passo 5

Reconhecer uma identidade algébrica útil:
e^{2t}+e^{-2t}+2=(e^{t}+e^{-t})^{2}.
Portanto o integrando é
\sqrt{(e^{t}+e^{-t})^{2}}=|e^{t}+e^{-t}|.
Agora um comentário sobre o valor absoluto: para todo t real temos e^{t}>0 e e^{-t}>0, assim e^{t}+e^{-t}>0. Em particular, no intervalo 0\le t\le 3 essa soma é positiva. Logo podemos retirar o valor absoluto:
|e^{t}+e^{-t}|=e^{t}+e^{-t}.

Passo 6

Montar a integral final e calcular passo a passo:
L=\int_{0}^{3}\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr)\,dt.
Integrando termo a termo (recordando que \int e^{t}\,dt=e^{t} e \int e^{-t}\,dt=-e^{-t}):
\int\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr)\,dt=e^{t}-e^{-t}+C.
Avaliar nos limites 0 e 3:
L=\bigl[e^{t}-e^{-t}\bigr]_{0}^{3}=\bigl(e^{3}-e^{-3}\bigr)-\bigl(e^{0}-e^{0}\bigr).
Como e^{0}=1, o segundo parêntese é 1-1=0. Portanto
L=e^{3}-e^{-3}.

Resposta

e^{3}-e^{-3}

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