Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica dada por
Informações fornecidas:
Pergunta: calcular o comprimento de arco da curva no intervalo
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): se uma curva é dada parametricamente por
e
em
, então o comprimento de arco
é
Por que isso? Pense em dividir o intervalo em pedaços pequenos
. Em cada pedaço, a curva se aproxima de um segmento de reta com comprimentos aproximados por
Somando e levando o número de pedaços ao infinito dá a integral acima. Aqui
é a derivada de
em relação a
e
a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calcular as derivadas (mostrando passo a passo as regras básicas):
- Derivada de
é . - Derivada de
é (regra da cadeia: multiplicar pela derivada do expoente , que é ).
Portanto
Para
:
Passo 4
Montar o integrando da fórmula do comprimento:
Expandindo o quadrado:
Somando
(que é
):
Passo 5
Reconhecer uma identidade algébrica útil:
Portanto o integrando é
Agora um comentário sobre o valor absoluto: para todo
real temos
e
, assim
. Em particular, no intervalo
essa soma é positiva. Logo podemos retirar o valor absoluto:
Passo 6
Montar a integral final e calcular passo a passo:
Integrando termo a termo (recordando que
e
):
Avaliar nos limites
e
:
Como
, o segundo parêntese é
. Portanto