Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
x=7 \cos \frac{t}{4}, y=7 \operatorname{sen} \frac{t}{4} ; 1^{\circ} quadrante

Passo 1

O enunciado pede calcular o comprimento de arco da curva dada em forma paramétrica
x=7\cos\!\left(\frac{t}{4}\right),\qquad y=7\sin\!\left(\frac{t}{4}\right),
restrita ao primeiro quadrante. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As expressões paramétricas da curva são x(t) e y(t) dadas acima.
  • O fator \frac{t}{4} é o ângulo polar efetivo: se chamarmos \theta=\frac{t}{4}, as coordenadas ficam x=7\cos\theta,\;y=7\sin\theta, ou seja, pontos sobre um círculo de raio 7.
  • “Primeiro quadrante” significa pontos com x\ge 0 e y\ge 0. Para a parametrização em termos de \theta, isso corresponde a \theta variando de \theta=0 até \theta=\frac{\pi}{2}.
  • Da relação \theta=\frac{t}{4} segue que os valores de t que percorrem o primeiro quadrante são
t\in\left[0,\;2\pi\right],
pois \theta=0 corresponde a t=0 e \theta=\frac{\pi}{2} corresponde a t=4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi.

Passo 2

Apresento a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas e explico o que cada coisa significa.
Se uma curva é dada por x=x(t) e y=y(t) para t em [a,b], o comprimento da curva entre t=a e t=b é
S=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.
O que isso diz, em palavras: \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} são as taxas de variação das coordenadas com respeito a t. O integrando é a velocidade escalar (módulo da velocidade) da partícula que percorre a curva; integrar essa velocidade ao longo do parâmetro dá o comprimento total percorrido. Nesta fórmula, a e b são os valores iniciais e finais do parâmetro t.

Passo 3

Vamos calcular \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}. Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de \cos\!\big(\frac{t}{4}\big) é -\sin\!\big(\frac{t}{4}\big) multiplicada pela derivada interna \frac{d}{dt}\!\big(\frac{t}{4}\big)=\frac{1}{4}.
Assim,
\frac{dx}{dt}=7\cdot\left(-\sin\!\left(\frac{t}{4}\right)\right)\cdot\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}\sin\!\left(\frac{t}{4}\right),
\frac{dy}{dt}=7\cdot\cos\!\left(\frac{t}{4}\right)\cdot\frac{1}{4}=\frac{7}{4}\cos\!\left(\frac{t}{4}\right).
Explicando a regra da cadeia de forma simples: quando você tem f(g(t)), a derivada é f'(g(t))\cdot g'(t). Aqui f(u)=\cos u ou \sin u e g(t)=\frac{t}{4}.

Passo 4

Agora calculamos o integrando, isto é, o módulo da velocidade:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} = \sqrt{\left(-\frac{7}{4}\sin\!\left(\frac{t}{4}\right)\right)^{2}+\left(\frac{7}{4}\cos\!\left(\frac{t}{4}\right)\right)^{2}}.
Factorizando \left(\frac{7}{4}\right)^{2} obtemos
\sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^{2}\left(\sin^{2}\!\left(\frac{t}{4}\right)+\cos^{2}\!\left(\frac{t}{4}\right)\right)} =\frac{7}{4}\sqrt{\sin^{2}\!\left(\frac{t}{4}\right)+\cos^{2}\!\left(\frac{t}{4}\right)}.
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}u+\cos^{2}u=1, concluímos que o integrando é constante:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}=\frac{7}{4}.
Interpretação: a velocidade é constante porque a parametrização percorre o círculo a velocidade angular constante (a cada aumento de t a posição descreve um arco com velocidade constante).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do comprimento de arco com os limites de t determinados no Passo 1, ou seja, t vai de 0 até 2\pi. Assim
S=\int_{0}^{2\pi}\frac{7}{4}\,dt=\frac{7}{4}\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi}=\frac{7}{4}\bigl(2\pi-0\bigr)=\frac{7}{4}\cdot 2\pi.
Simplificando \frac{7}{4}\cdot 2\pi=\frac{7\pi}{2}.
Uma verificação rápida e intuitiva: é um arco de círculo de raio 7 com ângulo \frac{\pi}{2} (um quarto de volta), então o comprimento deve ser raio × ângulo = 7\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{2}, o mesmo resultado obtido acima.

Resposta

\dfrac{7\pi}{2}

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