Calcular o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica:
quadrante
Passo 1
O enunciado pede calcular o comprimento de arco da curva dada em forma paramétrica
restrita ao primeiro quadrante. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As expressões paramétricas da curva são
e dadas acima. - O fator
é o ângulo polar efetivo: se chamarmos , as coordenadas ficam , ou seja, pontos sobre um círculo de raio . - “Primeiro quadrante” significa pontos com
e . Para a parametrização em termos de , isso corresponde a variando de até . - Da relação
segue que os valores de que percorrem o primeiro quadrante são
pois
corresponde a
e
corresponde a
.
Passo 2
Apresento a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas e explico o que cada coisa significa.
Se uma curva é dada por
e
para
em
, o comprimento da curva entre
e
é
O que isso diz, em palavras:
e
são as taxas de variação das coordenadas com respeito a
. O integrando é a velocidade escalar (módulo da velocidade) da partícula que percorre a curva; integrar essa velocidade ao longo do parâmetro dá o comprimento total percorrido. Nesta fórmula,
e
são os valores iniciais e finais do parâmetro
.
Passo 3
Vamos calcular
e
. Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
multiplicada pela derivada interna
.
Assim,
Explicando a regra da cadeia de forma simples: quando você tem
, a derivada é
. Aqui
ou
e
.
Passo 4
Agora calculamos o integrando, isto é, o módulo da velocidade:
Factorizando
obtemos
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, concluímos que o integrando é constante:
Interpretação: a velocidade é constante porque a parametrização percorre o círculo a velocidade angular constante (a cada aumento de
a posição descreve um arco com velocidade constante).
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do comprimento de arco com os limites de
determinados no Passo 1, ou seja,
vai de
até
. Assim
Simplificando
.
Uma verificação rápida e intuitiva: é um arco de círculo de raio
com ângulo
(um quarto de volta), então o comprimento deve ser raio × ângulo =
, o mesmo resultado obtido acima.