Calcular o comprimento de arco da curva dada por
y = f(x) = x * raiz(x) - 4 entre os pontos A(1,-3) e B(4,4).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o comprimento de arco da curva definida por entre os pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para comprimento de arco.

Passo 2

A fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e é:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de , , e então integrar a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . Primeiro, reescrevemos como :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos definir:
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando :
Agora, voltamos para a variável original :

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão para :

Resposta

O comprimento de arco da curva entre os pontos e é aproximadamente 8,81 unidades.

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