Calcular o comprimento de arco da curva dada por entre os pontos e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o comprimento de arco da curva definida por entre os pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para comprimento de arco.
Passo 2
A fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e é:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de , , e então integrar a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de . Primeiro, reescrevemos como :
Agora, derivamos em relação a :
Passo 4
Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando :
Agora, voltamos para a variável original :
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão para :
Resposta
O comprimento de arco da curva entre os pontos e é aproximadamente 8,81 unidades.