Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
15.) sumk=1^infty 3^-2 k(-6)^4-k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série converge ou não. Se ela convergir, vamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos:
3^-2k(-6)^4 - k = 3^-2k(-6)^4 cdot (-6)^-k = 3^-2k cdot (-6)^k(-6)^4

Passo 3

Agora, vamos quebrar os termos para facilitar. Sabemos que:
(-6)^k = (-1)^k cdot 6^k e 3^-2k = (13)^2k = 13^2k
Substituindo na expressão:
(-1)^k cdot 6^k3^2k cdot (-6)^4 = (-1)^k cdot (2 cdot 3)^k3^2k cdot 1296 = (-1)^k cdot 2^k cdot 3^k3^2k cdot 1296 = (-2)^k3^k cdot 1296

Passo 4

A série agora está na forma de uma série geométrica:
sumk=1^infty (-2/3)^k1296
Aqui, a razão da série geométrica é .

Passo 5

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, | -23 | = 23 < 1 . No nosso caso:
Portanto, a série converge.

Passo 6

Para encontrar a soma de uma série geométrica que começa em S = a11 - r , usamos a fórmula:
a1 = -2/31296 = -23888
Onde é o primeiro termo da série. No nosso caso:

Passo 7

Agora, vamos calcular a soma:
S = -2/38881 - (-2/3) = -2/38885/3 = -23888 cdot 35 = -619440 = -13240

Resposta

A série converge e a soma é .

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