Verifique se a integral imprópria converge ou diverge: integral Ln(x) / x^wed>= 2, integral indo de e a + infinito.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a integral imprópria . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que têm limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem limite).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Quando temos uma integral com um dos limites indo para o infinito, como nesta, precisamos verificar o comportamento da função integranda nesse intervalo. Se o resultado dessa análise for um número finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Vamos reescrever a integral de forma mais clara:
integrale^+infty ln(x)x^2 , dx
Queremos encontrar o valor dessa integral ou determinar se ela não tem limite.

Passo 4

Para resolver integrais como essa, uma técnica útil é a substituição. Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja dudx = 1x . Então, a derivada de em relação a é:
Isso implica que ou .

Passo 5

Agora, expressamos integral u(e^u)^2 cdot e^u , du = integral ue^u , du em termos de integral u e^-u , du . Já que , temos . Substituindo na integral:
Simplificamos para:

Passo 6

Para integrar integral u , dv = uv - integral v , du , usamos a técnica de integração por partes. Lembrando que:
u = u Rightarrow du = du
Escolhemos:
dv = e^-u , du Rightarrow v = -e^-u
integral u e^-u , du = -u e^-u + integral e^-u , du = -u e^-u - e^-u + C
Aplicando:

Passo 7

Agora, retornamos à variável original - ln(x) cdot 1x - 1x + C = -ln(x) + 1x + C . Lembrando que e :

Passo 8

Para avaliar a integral definida de limb to +infty [ -ln(x) + 1x ]e^b a limb to +infty ( -ln(b) + 1b ) - ( -ln(e) + 1e ) , calculamos o limite:
limb to +infty ( -ln(b) + 1b ) + 2e
Avaliação no limite:
Sabemos que , então:
O termo tende a zero à medida que vai para o infinito, porque o crescimento de no denominador supera o crescimento logarítmico no numerador.

Passo 9

Portanto, o resultado da integral é:
0 + 2e = 2e

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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