Calcular o comprimento do raio focal do ponto M da parábola, dada por
y^{2}=20 x
sabendo-se que a abscissa do ponto M é igual a 7 .

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola
y^2 = 20x
e pede o comprimento do raio focal no ponto M cuja abscissa é 7. Para isso, vamos identificar o foco da parábola e usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Escrevendo em forma padrão \,y^2 = 4a x, temos
4a = 20 \quad\Longrightarrow\quad a = 5.
O foco de uma parábola y^2 = 4a x é
F = (a,0) = (5,0).

Passo 3

Como a abscissa de M é 7, substituímos na equação da parábola:
y_M^2 = 20 \cdot 7 = 140 \quad\Longrightarrow\quad y_M = \pm \sqrt{140} = \pm 2\sqrt{35}.
Logo,
M = (7,\,2\sqrt{35}) \quad\text{ou}\quad M = (7,\,-2\sqrt{35}).

Passo 4

O raio focal é a distância de M ao foco F. Pela fórmula da distância entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
MF = \sqrt{(7-5)^2 + \bigl(y_M - 0\bigr)^2} = \sqrt{2^2 + \bigl(2\sqrt{35}\bigr)^2} = \sqrt{4 + 4\cdot35} = \sqrt{144} = 12.

Resposta

O comprimento do raio focal no ponto M é 12.

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