Calcular d wd t para w=-3 x y^2, x=cos (2 s t), y=raiz4 s t

Passo 1

O enunciado nos dá a função w=-3xy^2 com x=cos(2st) e y=raiz4st. Precisamos calcular a derivada total tfracdwdt usando derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar as derivadas parciais de w em relação a x e y. Temos:
partial wpartial x=-3,y^2,partial wpartial y=-6,x,y

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a t. Para x=cos(2st):
dxdt=-sin(2st)cdot2s=-2ssin(2st) E para y=raiz4st=2raizst:
dydt=2cdot12(st)^-1/2cdot s=sraizst

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia tfracdwdt=tfracpartial wpartial x,tfracdxdt+tfracpartial wpartial y,tfracdydt e substituindo:
dwdt=(-3y^2)(-2ssin(2st))+(-6xy)sraizst

Passo 5

Para simplificar, note que y^2=4st e y/raizst=2. Logo:
(-3y^2)(-2ssin(2st))=24s^2tsin(2st), $$
(-6xy)\frac{s}{\sqrt{st}}=-12s\cos(2st).$$ Somando os dois termos, chegamos à expressão de (-6xy)sraizst=-12scos(2st).

Resposta

dwdt=24s^2tsin(2st)-12scos(2st)

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