Dada la función f: R^2 R: f(x, y)=e^-(x^2+y^2)
Determina las direcciones de máximo y mínimo crecimiento de f(x, y) en el punto ( 1,0 ), así como el valor de las derivadas direccionales en dichas direcciones.

Passo 1

O enunciado pede para, dado f(x,y)=e{-(x2+y^2)}, achar em (1,0) as direções em que f cresce mais e decresce mais, além dos valores das derivadas direcionais nessas direções; vamos usar derivadas parciais, gradiente e definição de derivada direcional.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=e{-(x2+y^2)}, aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial x = e^-(x^2+y^2)cdot(-2x) = -2x e^-(x^2+y^2),
partial fpartial y = e^-(x^2+y^2)cdot(-2y) = -2y e^-(x^2+y^2)

Passo 3

Formamos o gradiente e avaliamos em (1,0):
nabla f(x,y) = l(-2x e^-(x^2+y^2),,-2y e^-(x^2+y^2)r)
Logo, em (1,0):
nabla f(1,0) = l(-2cdot1,e^-1,,0r) = l(-2e,,0r)

Passo 4

A direção de máximo crescimento é a do próprio gradiente. O vetor gradiente em (1,0) tem norma
l|nabla f(1,0)r| = 2e
O versor nessa direção é
umax = nabla f(1,0)|nabla f(1,0)| = l(-1,0r)
A direção de mínimo crescimento (maior decrescimento) é o oposto:
umin = l(1,0r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional em qualquer versor u é D_u f = \nabla f(1,0)\cdot u. Assim:
Dumaxf(1,0) = |nabla f(1,0)| = 2e,
Duminf(1,0) = -|nabla f(1,0)| = -2e

Resposta

Direção de máximo crescimento: versor (-1,0) com derivada direcional 2/e; direção de mínimo crescimento: versor (1,0) com derivada direcional -2/e.

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