Dada la función
Determina las direcciones de máximo y mínimo crecimiento de en el punto ( 1,0 ), así como el valor de las derivadas direccionales en dichas direcciones.
Passo 1
O enunciado pede para, dado f(x,y)=e{-(x2+y^2)}, achar em (1,0) as direções em que f cresce mais e decresce mais, além dos valores das derivadas direcionais nessas direções; vamos usar derivadas parciais, gradiente e definição de derivada direcional.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=e{-(x2+y^2)}, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Formamos o gradiente e avaliamos em (1,0):
Logo, em (1,0):
Passo 4
A direção de máximo crescimento é a do próprio gradiente. O vetor gradiente em (1,0) tem norma
O versor nessa direção é
umax = nabla f(1,0)|nabla f(1,0)| = l(-1,0r)
A direção de mínimo crescimento (maior decrescimento) é o oposto:
umin = l(1,0r)
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional em qualquer versor u é D_u f = \nabla f(1,0)\cdot u. Assim:
Dumaxf(1,0) = |nabla f(1,0)| = 2e,
Duminf(1,0) = -|nabla f(1,0)| = -2e
Resposta
Direção de máximo crescimento: versor (-1,0) com derivada direcional 2/e; direção de mínimo crescimento: versor (1,0) com derivada direcional -2/e.