Esboce o gráfico da função: (valor: 1,0 ponto cada item)
f(x)=1x-3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{x-3} $. Esse tipo de função é conhecida como função racional, porque é a divisão de dois polinômios. Para desenhar o gráfico, precisamos entender alguns conceitos básicos como assíntotas, interceptações e o comportamento geral da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as assíntotas da função. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Existem dois tipos principais: assíntotas verticais e horizontais.

Passo 3

Para encontrar a assíntota vertical, observamos onde o denominador da função se iguala a zero, pois nesses pontos a função não está definida e o gráfico tende ao infinito. Na nossa função:
x - 3 = 0 Rightarrow x = 3
Então, há uma assíntota vertical na linha $ x = 3 $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para funções racionais onde o grau do denominador é igual ao grau do numerador, a assíntota horizontal é a divisão dos coeficientes líderes. No caso de $ f(x) = \frac{1}{x-3} $, o grau do numerador é 0 e o do denominador é 1. Quando o grau do denominador é maior, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.
Portanto, a assíntota horizontal é $ y = 0 $, que é o eixo x.

Passo 5

Vamos identificar as interceptações da função com os eixos. As interceptações são os pontos onde o gráfico cruza os eixos x e y.
  • Interceptação com o eixo y: ocorre quando $ x = 0 $.
x = 0
Então, a interceptação com o eixo y é em $ (0, -\frac{1}{3}) $.
  • Interceptação com o eixo x: ocorre quando $ f(x) = 0 $.
f(0) = 10 - 3 = -13
Não há valor de $ x $ que satisfaça essa equação, então não há interceptação com o eixo x.

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento da função:
  • Para $ x > 3 $, $ x - 3 $ é positivo, então $ f(x) $ é positivo.
  • Para $ x < 3 $, $ x - 3 $ é negativo, então $ f(x) $ é negativo.
Isso nos ajuda a determinar como o gráfico se comporta em relação às assíntotas.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A assíntota vertical $ x = 3 $ divide o gráfico em duas partes.
  • À direita de $ x = 3 $, o gráfico está acima do eixo x e se aproxima das assíntotas conforme $ x $ aumenta.
  • À esquerda de $ x = 3 $, o gráfico está abaixo do eixo x e também se aproxima das assíntotas conforme $ x $ diminui.
  • O único ponto onde o gráfico cruza o eixo y é em $ (0, -\frac{1}{3}) $.

Resposta

O gráfico da função $ f(x) = \frac{1}{x-3} $ possui uma assíntota vertical na linha $ x = 3 $ e uma assíntota horizontal no eixo $ y = 0 $. Ele intercepta o eixo y no ponto $ (0, -\frac{1}{3}) $ e não intercepta o eixo x. O gráfico fica acima do eixo x quando $ x > 3 $ e abaixo quando $ x < 3 $, aproximando-se das assíntotas conforme $ x $ se afasta de 3.

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