Calcular Q e \Delta \mathrm{H} quando 2 mol de \mathrm{O}_{2}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}}(\mathrm{J} / \mathrm{K} \mathrm{mol})=27,73+12,97 \mathrm{~T}\right) são reversivelmente aquecidos de 27^{\circ} \mathrm{C} para 127^{\circ} \mathrm{C} com p mantido constante a 1 atm . (SI). (Valor: 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para calcular Q e \Delta H quando 2 mol de \mathrm{O}_2 são aquecidos reversivelmente a pressão constante p=1\\ \mathrm{atm} de 27^\circ\mathrm{C} para 127^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
  • quantidade de substância: n=2\\ \mathrm{mol}.
  • temperatura inicial: 27^\circ\mathrm{C}.
  • temperatura final: 127^\circ\mathrm{C}.
  • capacidade calorífica molar dependente da temperatura: \displaystyle C_{p,m}( \mathrm{J/(K\;mol)}) = 27,73 + 12,97\,T.
    A pergunta: calcular Q (calor trocado no processo reversível a p constante) e \Delta H (variação de entalpia) na transformação.
Observação importante (não é pergunta): a expressão dada para C_{p,m} é escrita exatamente como acima. Isso implica que o coeficiente do termo linear é 12,97 com unidades \mathrm{J/(K^2\;mol)} se T estiver em kelvin — esse valor é muito grande em comparação à prática (para \mathrm{O}_2 esperaria C_{p,m} da ordem de 29\\ \mathrm{J/(K\;mol)}). Pode haver um erro de digitação no enunciado (muitos livros usam um termo do tipo b\times10^{-3}T). Vou primeiro resolver estritamente usando a expressão como dada; logo após apresento a conta alternativa assumindo que o termo linear deveria ser 0,01297\,T (isto é, 12,97\times10^{-3}\,T), que produz resultados fisicamente mais razoáveis.

Passo 2

Conceito físico e fórmula a usar.
  • Para um aquecimento reversível a pressão constante vale que o calor trocado é igual à variação de entalpia:
Q_{p,\text{rev}}=\Delta H.
  • A variação de entalpia para um gás ideal (ou quando se usa C_{p,m}(T)) é dada por
\Delta H = n\int_{T_1}^{T_2} C_{p,m}(T)\,dT,
onde n é o número de mols, T_1 e T_2 são as temperaturas inicial e final em kelvin, e C_{p,m}(T) é a capacidade calorífica molar a pressão constante (unidade \mathrm{J/(K\;mol)}).
Explicando as variáveis para ficar tranquilo: n = mols do gás; C_{p,m}(T) diz quantos joules são necessários para elevar 1 mol do gás em 1 kelvin quando a pressão é constante, e como aqui C_{p,m} depende de T temos que integrar.

Passo 3

Converter temperaturas para kelvin (obrigatório quando integrarmos C_{p,m}(T) em função de T):
T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 127^\circ\mathrm{C} = 127 + 273 = 400\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Montar a integral usando exatamente a expressão dada para C_{p,m}(T):
\Delta H = n\int_{T_1}^{T_2} \bigl(27,73 + 12,97\,T\bigr)\,dT.
Integrando termo a termo:
\int_{T_1}^{T_2} \bigl(27,73 + 12,97\,T\bigr)\,dT = 27,73\,(T_2-T_1) + 12,97\cdot\frac{T_2^2-T_1^2}{2}.
Portanto, por mol:
\Delta h \equiv \frac{\Delta H}{n} = 27,73\,(T_2-T_1) + 12,97\cdot\frac{T_2^2-T_1^2}{2}.

Passo 5

Calcular as quantidades numéricas (usando a expressão exatamente como dada).
  • Primeiro calculemos T_2-T_1 e T_2^2-T_1^2:
T_2-T_1 = 400-300 = 100\\ \mathrm{K},
T_2^2-T_1^2 = 400^2-300^2 = 160000-90000 = 70000\\ \mathrm{K^2}.
  • Agora a contribuição dos termos:
27,73\,(T_2-T_1) = 27,73\times100 = 2773\\ \mathrm{J/mol}.
12,97\cdot\frac{T_2^2-T_1^2}{2} = 12,97\times\frac{70000}{2} = 12,97\times35000 = 453\,950\\ \mathrm{J/mol}.
  • Soma por mol:
\Delta h = 2773 + 453\,950 = 456\,723\\ \mathrm{J/mol}.
  • Como n=2\\ \mathrm{mol},
\Delta H = n\Delta h = 2\times456\,723 = 913\,446\\ \mathrm{J}.
  • Como Q_{p,\text{rev}}=\Delta H,
Q = 913\,446\\ \mathrm{J}.
Em unidades mais convenientes:
\Delta H = Q \approx 9,13\times10^{5}\\ \mathrm{J} = 913,4\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Comentário sobre plausibilidade e cálculo alternativo (assumindo provável fator 10^{-3} no termo linear).
  • Observação: o valor obtido acima ( \sim9,1\times10^{5}\\ \mathrm{J}) é muito grande para aquecer apenas 2 mol de \mathrm{O}_2 em 100\\ \mathrm{K}. Isso sugere que o enunciado talvez tenha omitido um fator 10^{-3} no termo linear (forma comum: C_{p,m}=27,73 + 12,97\times10^{-3} T). Vou mostrar rapidamente o resultado nesse cenário “corrigido”, que costuma ser o que se espera em exercícios reais.
  • Repetindo a integral com C_{p,m}(T)=27,73+0,01297\,T:
\Delta h = 27,73\cdot100 + 0,01297\cdot\frac{70000}{2} = 2773 + 0,01297\times35000.
0,01297\times35000 = 453,95\\ \mathrm{J/mol},
\Delta h = 2773 + 453,95 = 3\,226,95\\ \mathrm{J/mol}.
\Delta H = n\Delta h = 2\times3\,226,95 = 6\,453,9\\ \mathrm{J} \approx 6,45\\ \mathrm{kJ}.
Neste caso fisicamente razoável:
Q=\Delta H \approx 6,45\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

Usando a expressão dada ( C_{p,m}=27,73+12,97\,T): Q=\Delta H=913\,446\\ \mathrm{J}\approx913,4\\ \mathrm{kJ}
Assumindo que o termo linear deveria ser 12,97\times10^{-3}T (mais provável): Q=\Delta H=6\,453,9\\ \mathrm{J}\approx6,45\\ \mathrm{kJ}

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