Dê uma aplicação de equaçāo diferencial aos circuitos clétricos.
Passo 1
O que o enunciado pede: dar uma aplicação de equação diferencial a circuitos elétricos.
Informações fornecidas: nenhuma numérica.
O que vou fazer: apresentar um exemplo clássico (um circuito série com resistor, indutor e capacitor alimentado por uma fonte em degrau), mostrar como surge a equação diferencial, ensinar passo a passo a resolver essa equação e dar a solução do comportamento da corrente no circuito — isto é exatamente o tipo de problema que cai em prova. Vou assumir condições iniciais comuns (circuito em repouso antes de ) para obter uma solução explícita.
Informações fornecidas: nenhuma numérica.
O que vou fazer: apresentar um exemplo clássico (um circuito série com resistor, indutor e capacitor alimentado por uma fonte em degrau), mostrar como surge a equação diferencial, ensinar passo a passo a resolver essa equação e dar a solução do comportamento da corrente no circuito — isto é exatamente o tipo de problema que cai em prova. Vou assumir condições iniciais comuns (circuito em repouso antes de
Passo 2
Elementos do circuito e suas relações tensão-corrente (explicação didática e simples).
- Resistor
: a tensão em um resistor é proporcional à corrente instantânea. Fórmula:
onde
é a corrente no circuito (positiva no sentido escolhido).
- Indutor
: a tensão é proporcional à derivada da corrente. Fórmula:
Isto vem da lei de Faraday: o indutor resiste a mudanças de corrente.
- Capacitor
: a tensão no capacitor é proporcional à carga acumulada. Fórmula:
e a corrente é a derivada da carga:
Alternativamente,
, mas trabalhar com
costuma ser mais direto para derivar a equação.
Observação intuitiva: as equações acima mostram porque aparecem derivadas (e integrais) — indutor relaciona tensão à derivada de corrente; capacitor relaciona tensão à integral (ou carga), então combinar elementos gera equações diferenciais.
Passo 3
Escrever a lei de malha (Lei de Kirchhoff de tensões) e obter a equação diferencial.
Para o circuito série (fonte em série com
) a soma das tensões é zero:
Para o circuito série (fonte
Substituindo as relações dos elementos:
Usando
obtemos uma equação diferencial de segunda ordem para
:
Esta é a equação diferencial que descreve o circuito: é linear, com coeficientes constantes. É exatamente um exemplo de aplicação de EDOs em circuitos elétricos.
Passo 4
Colocar a equação em forma padrão e definir parâmetros físicos úteis.
Dividindo por :
Dividindo por
Definimos:
Assim a equação homogênea correspondente fica
Interpretação física rápida:
controla a tendência a oscilar do circuito (se não houvesse resistência);
controla quanto a resistência amortiza/derruba essas oscilações.
Passo 5
Solução da equação homogênea (método dos coeficientes constantes).
Procuramos soluções do tipo . A equação característica é
Procuramos soluções do tipo
com raízes
Há três casos:
- Subamortecido (
): raízes complexas com . Solução
- Criticamente amortecido (
): raiz dupla . Solução
- Superamortecido (
): raízes reais distintas . Solução
Explicação do método: resolvemos a homogênea para entender o comportamento transitório (sem fonte ou da parte transitória).
Passo 6
Particular para uma entrada em degrau (aplicando a fonte).
Considere a entrada típica de prova: a fonte é um degrau aplicado em
. Em regime permanente (tempo muito grande), o circuito série comporta-se como um capacitor carregado à tensão
(a corrente tende a zero), logo a carga em regime é
Considere a entrada típica de prova: a fonte é um degrau
Logo uma solução particular constante é
. Isto pode ser verificado substituindo na equação: derivadas nulas e
.
Passo 7
Solução completa e relação com a corrente.
A solução completa é soma da particular com a homogênea:
A solução completa é soma da particular com a homogênea:
Como
, uma vez que
está conhecida, obtemos a corrente instantânea. Esse
descreve o trânsito de carga (o “pulso”/oscilação) após ligar a fonte até estabilizar em
.
Passo 8
Determinar as constantes usando condições iniciais (caso prático mais comum).
Condições iniciais usuais em provas: circuito em repouso antes de ligar a fonte, ou seja, e
. Vou trabalhar explicitamente o caso mais comum e didaticamente importante: subamortecido (
), que gera resposta oscilatória amortecida.
Condições iniciais usuais em provas: circuito em repouso antes de ligar a fonte, ou seja,
Para
temos
Impor
dá
Agora
. Derivando e impondo
permite achar
. Seguindo os passos (contas mostradas abaixo de forma comentada) chega-se a:
Substituindo de volta e derivando, obtemos a forma final da corrente (que é a variável que geralmente interessa em circuitos):
onde
,
e
.
Comentário sobre as contas (passo a passo do cálculo de
; é bom entender para prova):
- A partir de
. - Derivando
e simplificando (usar ) resulta na expressão de acima, que pode ser escrita também como
Esta expressão mostra claramente: início nulo, pico de corrente na primeira oscilação, decaimento exponencial por
e frequência de oscilação
.
Passo 9
Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia).
Escolha típica: ,
,
,
.
Escolha típica:
-
. -
. -
.
Então
Isto mostra um pulso oscilatório amortecido que tende a zero: comportamento que geralmente se observa ao ligar um RLC.
Passo 10
Interpretação prática e mensagens para a prova (dicas).
- O ODE que obtivemos descreve o regime transitório do circuito: entender a solução (amortecida, crítica, superamortecida) é fundamental para prever se o circuito oscilará e com que rapidez as oscilações cessam.
- Em provas: escreva sempre KVL, expresse as tensões dos elementos, passe para
ou de forma consistente, forme a EDO, identifique e , resolva homogênea + particular, aplique condições iniciais. - Se pedirem corrente, lembre-se que
e que para degrau a particular é . Para entrada senoidal faz-se método dos fasores (solução estacionária diferente). - Técnica de memória: pensar em RLC como um “oscilador massa-mola-amortecedor” em mecânica — a matemática é a mesma.
Resposta
Equação diferencial do circuito série
com fonte
:
Para entrada em degrau
e condições iniciais
, no caso subamortecido (
) a corrente é