Dê uma aplicação de equaçāo diferencial aos circuitos clétricos.

Passo 1

O que o enunciado pede: dar uma aplicação de equação diferencial a circuitos elétricos.
Informações fornecidas: nenhuma numérica.
O que vou fazer: apresentar um exemplo clássico (um circuito série com resistor, indutor e capacitor alimentado por uma fonte em degrau), mostrar como surge a equação diferencial, ensinar passo a passo a resolver essa equação e dar a solução do comportamento da corrente no circuito — isto é exatamente o tipo de problema que cai em prova. Vou assumir condições iniciais comuns (circuito em repouso antes de t=0) para obter uma solução explícita.

Passo 2

Elementos do circuito e suas relações tensão-corrente (explicação didática e simples).
  • Resistor R: a tensão em um resistor é proporcional à corrente instantânea. Fórmula:
v_R(t)=R\,i(t),
onde i(t) é a corrente no circuito (positiva no sentido escolhido).
  • Indutor L: a tensão é proporcional à derivada da corrente. Fórmula:
v_L(t)=L\,\frac{di}{dt}(t).
Isto vem da lei de Faraday: o indutor resiste a mudanças de corrente.
  • Capacitor C: a tensão no capacitor é proporcional à carga q(t) acumulada. Fórmula:
v_C(t)=\frac{q(t)}{C},
e a corrente é a derivada da carga:
i(t)=\frac{dq}{dt}(t).
Alternativamente, v_C(t)=\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i(\tau)\,d\tau, mas trabalhar com q costuma ser mais direto para derivar a equação.
Observação intuitiva: as equações acima mostram porque aparecem derivadas (e integrais) — indutor relaciona tensão à derivada de corrente; capacitor relaciona tensão à integral (ou carga), então combinar elementos gera equações diferenciais.

Passo 3

Escrever a lei de malha (Lei de Kirchhoff de tensões) e obter a equação diferencial.
Para o circuito série (fonte v_s(t) em série com R,L,C) a soma das tensões é zero:
v_s(t)-v_R(t)-v_L(t)-v_C(t)=0.
Substituindo as relações dos elementos:
v_s(t)-R\,i(t)-L\,\frac{di}{dt}(t)-\frac{q(t)}{C}=0.
Usando i(t)=\dfrac{dq}{dt}(t) obtemos uma equação diferencial de segunda ordem para q(t):
L\,\frac{d^2 q}{dt^2}(t)+R\,\frac{dq}{dt}(t)+\frac{1}{C}q(t)=v_s(t).
Esta é a equação diferencial que descreve o circuito: é linear, com coeficientes constantes. É exatamente um exemplo de aplicação de EDOs em circuitos elétricos.

Passo 4

Colocar a equação em forma padrão e definir parâmetros físicos úteis.
Dividindo por L:
\frac{d^2 q}{dt^2}+ \frac{R}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC} q = \frac{1}{L} v_s(t).
Definimos:
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\quad\text{(frequência natural)}, \qquad \alpha=\frac{R}{2L}\quad\text{(coeficiente de amortecimento)}.ê
Assim a equação homogênea correspondente fica
\frac{d^2 q}{dt^2}+2\alpha\frac{dq}{dt}+\omega_0^2 q=0.
Interpretação física rápida: \omega_0 controla a tendência a oscilar do circuito (se não houvesse resistência); \alpha controla quanto a resistência amortiza/derruba essas oscilações.

Passo 5

Solução da equação homogênea (método dos coeficientes constantes).
Procuramos soluções do tipo q_h(t)=e^{r t}. A equação característica é
r^2+2\alpha r+\omega_0^2=0,
com raízes
r = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}.
Há três casos:
  • Subamortecido ( \alpha<\omega_0): raízes complexas r=-\alpha\pm j\omega_d com \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}. Solução
q_h(t)=e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr).
  • Criticamente amortecido ( \alpha=\omega_0): raiz dupla r=-\alpha. Solução
q_h(t)=e^{-\alpha t}(A+Bt).
  • Superamortecido ( \alpha>\omega_0): raízes reais distintas r_1,r_2. Solução
q_h(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}.
Explicação do método: resolvemos a homogênea para entender o comportamento transitório (sem fonte ou da parte transitória).

Passo 6

Particular para uma entrada em degrau (aplicando a fonte).
Considere a entrada típica de prova: a fonte é um degrau v_s(t)=V_0\,u(t) aplicado em t=0. Em regime permanente (tempo muito grande), o circuito série comporta-se como um capacitor carregado à tensão V_0 (a corrente tende a zero), logo a carga em regime é
q_p = C\,V_0.
Logo uma solução particular constante é q_p(t)=C V_0. Isto pode ser verificado substituindo na equação: derivadas nulas e (1/C) q_p = V_0.

Passo 7

Solução completa e relação com a corrente.
A solução completa é soma da particular com a homogênea:
q(t)=C V_0 + q_h(t).
Como i(t)=\dfrac{dq}{dt}(t), uma vez que q(t) está conhecida, obtemos a corrente instantânea. Esse i(t) descreve o trânsito de carga (o “pulso”/oscilação) após ligar a fonte até estabilizar em i=0.

Passo 8

Determinar as constantes usando condições iniciais (caso prático mais comum).
Condições iniciais usuais em provas: circuito em repouso antes de ligar a fonte, ou seja, q(0)=0 e i(0)=0. Vou trabalhar explicitamente o caso mais comum e didaticamente importante: subamortecido ( \alpha<\omega_0), que gera resposta oscilatória amortecida.
Para \alpha<\omega_0 temos
q(t)=C V_0 + e^{-\alpha t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr).
Impor q(0)=0
0 = C V_0 + A \quad\Rightarrow\quad A = -C V_0.
Agora i(t)=dq/dt. Derivando e impondo i(0)=0 permite achar B. Seguindo os passos (contas mostradas abaixo de forma comentada) chega-se a:
B = -\frac{\alpha}{\omega_d}\,C V_0.
Substituindo de volta e derivando, obtemos a forma final da corrente (que é a variável que geralmente interessa em circuitos):
i(t)=\frac{V_0}{L\,\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t),\qquad t\ge 0,
onde \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}, \omega_0=1/\sqrt{LC} e \alpha=R/(2L).
Comentário sobre as contas (passo a passo do cálculo de i(t); é bom entender para prova):
  • A partir de q(t)=C V_0 - C V_0 e^{-\alpha t}\bigl(\cos\omega_d t + (\alpha/\omega_d)\sin\omega_d t\bigr).
  • Derivando q(t) e simplificando (usar \alpha^2+\omega_d^2=\omega_0^2=1/(LC)) resulta na expressão de i(t) acima, que pode ser escrita também como
i(t)=\frac{V_0}{L}\,\frac{e^{-\alpha t}}{\omega_d}\sin(\omega_d t).
Esta expressão mostra claramente: início nulo, pico de corrente na primeira oscilação, decaimento exponencial por e^{-\alpha t} e frequência de oscilação \omega_d.

Passo 9

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia).
Escolha típica: R=1\\ \Omega, L=1\\ \mathrm{H}, C=1\\ \mathrm{F}, V_0=1\\ \mathrm{V}.
  • \omega_0=1/\sqrt{LC}=1\\ \mathrm{rad/s}.
  • \alpha=R/(2L)=0{,}5\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • \omega_d=\sqrt{1-0{,}25}=\sqrt{0{,}75}\approx0{,}8660\\ \mathrm{rad/s}.
    Então
i(t)\approx\frac{1}{1\cdot0{,}8660}\,e^{-0{,}5 t}\sin(0{,}8660\,t)\approx1{,}1547\,e^{-0{,}5 t}\sin(0{,}8660\,t).
Isto mostra um pulso oscilatório amortecido que tende a zero: comportamento que geralmente se observa ao ligar um RLC.

Passo 10

Interpretação prática e mensagens para a prova (dicas).
  • O ODE que obtivemos descreve o regime transitório do circuito: entender a solução (amortecida, crítica, superamortecida) é fundamental para prever se o circuito oscilará e com que rapidez as oscilações cessam.
  • Em provas: escreva sempre KVL, expresse as tensões dos elementos, passe para q ou i de forma consistente, forme a EDO, identifique \alpha e \omega_0, resolva homogênea + particular, aplique condições iniciais.
  • Se pedirem corrente, lembre-se que i=dq/dt e que para degrau a particular é q_p=C V_0. Para entrada senoidal faz-se método dos fasores (solução estacionária diferente).
  • Técnica de memória: pensar em RLC como um “oscilador massa-mola-amortecedor” em mecânica — a matemática é a mesma.

Resposta

Equação diferencial do circuito série R\!-\!L\!-\!C com fonte v_s(t):
L\,\frac{d^2 q}{dt^2}+R\,\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q = v_s(t).
Para entrada em degrau v_s(t)=V_0u(t) e condições iniciais q(0)=0,\\ i(0)=0, no caso subamortecido ( \alpha=\tfrac{R}{2L}<\omega_0=\tfrac{1}{\sqrt{LC}}) a corrente é
i(t)=\frac{V_0}{L\,\omega_d}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_d t),\qquad \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}.

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